数论小记
做到就会补进来 >w<
平方和
\[\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
立方和
\[\sum_{i=1}^n i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}
\]
乘积约数个数
\[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[\gcd(x,y)=1]
\]
其中 \(d\) 是约数个数，证明如下：
考虑 \(x,y\) 造就的 \(xy=d\) 的贡献，显然覆盖完全，那么我们现在需要一个 \(d\) 只能有一种产生贡献的方式。
考虑一个质数 \(p\) 在 \(x,y,d\) 中的幂次分别为 \(x',y',d'\)，在 \(i\) 中的幂次为 \(lim\)，显然 \(d'=x'+y'\)，然后 \(gcd(x,y)=1\) 就有一个含义：\(x'=0\) 或 \(y'=0\)。
-
对于 \(y'=0\)，将其跟 \(x'\) 这个幂次对应。
-
对于 \(x'=0\)，将其根 \(lim+y'\) 这个幂次对应。
然后再考虑一个 \(d|ij\) 的质因子和幂次 \(p^t\)，如果 \(1\leq t\leq lim\)，只会在前面那一个里面算到，如果 \(lim<t\)，那么会在后面那一种算到。
牛顿二项式定理
\((1+x)^{\alpha}=\sum_{r=0}^{\infty}\binom{\alpha}{r}x^r\)
更相减损术
不断考虑 \(大-小\) 替代 \(大\)，碰到同偶的话同时 \(\frac{}{2}\)。
