2023.8 做题笔记 / 不自量力的妄想 镌刻在心脏

不愿忘却。

早知如此绊人心，当初何必相识。

记录了好玩的题目，代码都很好写（

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[ARC092F] Two Faced Edges tag：tarjan，dfs

che 的题解。

tarjan 之后按在不在 scc 上面分讨边，发现要求不含 $(u,v)$ 的路径是否存在。想办法算路径长度 $>1$，裸 dfs 算路径是搜索树一条边。正反 dfs 一定有一个可以算出如果存在的合法路径。

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[CF348C] Subset Sums tag：根号分治

根号分治。将集合按照跟 $t=\sqrt{n}$ 的大小关系分为 轻|重 集合，因为 $\sum n_i$ 范围确立，这么干有两个好处，重集合最多有根号个，轻集合长度不超过根号。对于轻集合，直接暴力处理，对于重集合，我们打上标记。然后会发现诶这个重集合贡献需要加到别的里面，那我们预处理每个集合跟每个重集合的公共部分大小就可以了喵。

具体而言，预处理重集合和每个集合的交集大小。

• 重集合修改：打上修改标记。

• 轻集合修改：在原序列暴力修改。

• 重集合查询：提前算好的 sum 加上跟重集合的贡献。

• 轻集合查询：暴力算 sum 然后加上跟重集合的贡献。

upt: 其实只要暴力算重集合与任意集合的交，然后轻集合的贡献暴力算，重集合的贡献打上 tag，每次询问就是已经被打好的轻集合贡献 + 遍历的重集合贡献。

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[AGC011C] Squared Graph tag：二分图

原图乘出来非常非常非常非常抽象，考虑 $(a,b)\to (c,d)$ 联通的情况，那是一个在原图上同时游走任意久的游戏 ，所以其实 $a\to c,b\to d$ 有奇偶性相同的路径即可。对于原本的一个联通块，有奇环显然随便玩，不然就得二分图裂开，特殊的孤立点也是一种情况。原连通块独立的都是独立的直接考虑贡献，这样计算各种东西的数量就能算出贡献了。

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[CF741C] Arpa’s overnight party and Mehrdad’s silent entering tag：二分图，构造

upt：我们用互不相同作为条件建图，那么有解和构造做一次二分图就行了。注意到单点度数一定不会超过 $3$，但是 $3$ 没有什么好性质，我们不妨直接钦定成 $2$ 的话就是链 / 环，然后环里面一个人一定有 cp 肯定就是二分图了，那么我们钦定相邻两个不相同即可。

考虑配对显得非常难做，构造题做起来要猛一点，就像原神玩家一样！直接间歇性强制配对，然后发现肯定是有解。二分图染色？启动！

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P3573 [POI2014] RAJ-Rally tag：拓扑排序，堆

首先去掉某个点肯定要修改合并信息这样子，这是个 DAG 那么可以想到预处理 $f_i,g_i$ 表示正/反图最短路，然后对于一个 $i$，成为答案应该是某个合法的 $f_j/g_j/(s,t)$，对于 $(s,t)$ 这种不好处理的应该是隔开成为 $(u,v)$ 的 $f_u+g_v+1$ 来贡献，按照二分图的类似网络流的割的形状，用堆来算贡献即可。

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[CF442C] Artem and Array tag：贪心，构造

如果一个数比两边小，随便删，可以发现肯定不劣，然后最后就是一个数组的峰的单。此时我们希望删掉的数有两种性质：取到的答案最大，删掉之后不影响别的，发现最大值和次大值旁边更大的那一个满足这个条件，取能取到的第三大值，且不可能成为某个 $min$，最终的贡献就是前 $n-2$ 小的 $a_x$ 啦 qwq

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[ARC072F] Dam tag：建模，凸包

设 $f[i]=j$ 表示 $i$ 的容量最多能拿到 $j$ 的热量（温度乘体积），这是一个上突壳子的函数。明确一点我们加水是强制的捏，所以每一轮先把原本的加上一个向量，去掉多的地方，然后我们发现后面的放水可能会让前面的答案更好，所以每个点忘原点连一条线之后新的上突壳子即为新的 $f$ 函数！

玩一个单调队列维护就可以啦，每次删掉斜率比后面小的点。有一种 跟我的可爱的 teriri 一样 可爱的做法，直接把每次加水的向量加到队列里面，不维护那种丑陋的东西也可以啦，每次就，如果斜率比不上就两个向量加起来！

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[ABC191F] GCD or MIN tag：数论，枚举

che 的题解。

考虑各种弱化拼在一起就行了。这篇题解因为 latex 被打回多次，不开心捏。任意 gcd 可以枚举约数搞 gcd 判断合不合法，然后发现 $min\{a_i\}$ 是 gcd 合法的界限。

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[ABC243G] Sqrt tag：dp，整除分块

$$f_n=\sum _{i=1}^{\sqrt{n}}{f}_i=\sum _{i=1}^{\sqrt{\sqrt{n}}}(\lfloor \sqrt{n}\rfloor -i^2+1)f_i$$

事实上一直类似搞进去可以拥有很离谱的复杂度，但感觉没太大必要。

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[ABC308G] Minimum Xor Pair Query tag：xor

把序列排序，xor 最小值肯定在 a[x]^a[x+1] 中出现过，感性理解就是 xor 是类似减法所以要求的是尽量接近，证明可以搞点交换。开俩 multiset 动态维护就可以了。

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P9378 [THUPC 2023 决赛] 物理实验 tag：贪心

注意到权值有绝对的领先，我们考虑贪心的取。观察到如果一个集合可行，其选择没有影响可行性胡后效性，那么直接贪心（集合外的位置固定而数等价），维护选的数的集合 $in[]$，如果能加入那就加入。再考虑怎么判断，维护 $vis[i]$ 表示每个点有没有被做掉或者炸掉，碰到不要的直接就炸了，不然就一直用做掉这个实验的方式保护祂，如果保护不来就是不可以。

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[AGC016D] XOR Replace tag：xor，贪心，基环树

a[1]^...^a[n-1]^a[n]=M,a[1]^...^a[n-1]^M=a[n] 所以可以当成在末尾多放一个 M 然后每次可以 swap(a[x],a[n+1])。对于一组 $(a_i,b_i)$ 可以看做一个「放入 $b_i$ 得到 $a_i$」 的游戏，自然而言想到建图于是得到变成了走到。

每个点出入度均为 1 的情况：如果没有重复值（指 $a_i=a_j$ 且 $i\ne j$）那这是一堆环，有重复值就是环打结，也不影响答案。每个环需要额外走一次，答案就是「边数+联通块个数」。如果 M 可以混入其中那就 -1。存在点 出|入 度不为 1 的情况：其实就是上面的情况一个环变成了一条链，我们会发现链跟点没啥区别，如果 M 出现在链上一定是底，不会有额外贡献。

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[AGC004C] AND Grid tag：构造

前缀唯一绿题（划掉。

两个答案图与起来等于原图，并且分别四（上下左右的）联通。首先原图的部分肯定要 1 进去！剩下的一个位置要不然 A 有要不然 B 有要不然 AB 都没有。考虑到这是一个构造题，AB 都没有什么的肯定是人家不喜欢的啦。

所以我们想一种办法，恰好能把 A 联通，剩下的部分全部给 B 然后 B 也可以联通。这个就有很多办法啦，第一列给左，最后一列给右，其它奇数行给左偶数行给右，或者直接构造两个蛇型玩意儿也可以。大概思路就是，拿宽度为 2，两种颜色的笔刷从边上出发用合法的颜色覆盖整个图即可。

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[ARC107D] Number of Multisets tag：dp

考虑下述方式来双射数集，末尾加入一个 $1$，整体 $\times \frac{1}{2}$，设 $f[i][j]$ 表示有 $i$ 个数和为 $j$ 的方案数，那么转移显然是 $f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i][2j]$。

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[CF1270G] Subset with Zero Sum tag：基环树

化丑陋的 $i-n\le a_i\le i-1$ 为可爱的 $1\le i-a_i\le n$，然后我们连边 $(i,i-a_i)$，每个点一个出边这是一个内向基环树森林，一条边可以看成一个变化，若干次变化之后变成自己意思就是被 -0 了，上面的一个环就是一组解了。

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[CF1364E] X-OR tag：交互，or，and

首先 $(a_p=0)|a_i=a_i$，我们想要先找到 $p$ 的位置然后花费 $n-1$ 次询问输出序列，寻找的这部分可以花费的次数是 $2048-(n-1)=n+174$ 次。

先考 $a_i$ 好不好求，我们知道一些信息 $a_i|a_j=v_j$，那么 $a_i\in \text{and}{v}_j$，容易发现取很多个之后 $a_i\ne \text{and}{v}_j$ 的概率非常低，对于某一位来说，只要存在 $(a_j)=0$ 就行了，随机取一次这个概率 $\ge \frac{1}{2}$。

我们知道 $a_i=x$，如果 $Q(i,j)=x$ 的话 $a_j$ 是 $a_i$ 的子集有可能成为答案但是不确定是不是 $0$，如果 $Q(i,j)\ne x$ 的话一定有位是 $1$ 一定不是 $0$，注意到前面那一种情况顺着做只有 $\log V$ 次，出现之后直接随机化求出新的 $a_i^{\prime }=a_j$ 即可。

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P4334 [COI2007] Policija

第一种询问显然边双缩点成树然后树上倍增就可以做了，但是不知道点双怎么缩成树啊 /dk/dk。圆方树？启动！对于每一个点双新建一个点，每个点向所在点双的虚点上面连边就是可以的啦（原图中的边不要了）。对于边的询问，我们发现割边变成了一个虚点，于是乎也不需要再写一堆边双相关的东西了。