莫比乌斯反演 & gcd 卷积
没有写一些概念(?(((
我是梅比乌斯厨=莫比乌斯厨=牲畜(暴论。
前置芝士
积性分解
对于积性函数
狄利克雷卷积
两个数论函数(这里理解成值域为正整数)卷乘一个新的数论函数,记作
-
这玩意满足 交换 & 结合律。数论函数
。任意数论函数 。 -
计算上面除了按照定义也可以枚举因数的倍数。
-
两个积性函数的卷积仍是积性函数。
卷积逆元
给出
首先
- 积性函数的逆仍是积性函数。
莫比乌斯反演
莫比乌斯函数
有函数
写出在幂处的取值,是研究积性函数的通用方法。
-
-
意思是 -
,归纳就是
当
int p[M], top, mu[M], vis[M];
vis[1]=1, mu[1]=1;
for(int i=2; i<=N; ++i) {
if(!vis[i]) p[++top]=i, mu[i]=-1;
for(int j=1; j<=top&&i*p[j]<=N; ++j) {
int x=i*p[j]; vis[x]=1;
if(i%p[j]!=0) mu[x]=-mu[i];
}
}
约数求和 & 倍数求和
有一定的值域 qwq bwb pwp dwd
对
按照幂次把数看为高维点这个分别是 前缀|后缀和 >w<
我们再给祂们弄逆操作
差分的计算
给出
给出
或者容斥也可以捏 >_<
求得
gcd 卷积
给出函数
求出
可以联想 and 卷积,有类似的结论 qwq
如果有些
诶
然后如果求单个
说句闲话这解决了 lsy 一个珂爱的没有深究的历史遗留的不知道为什么能过问题(?
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