Lucas 定理

lucas 定理用于求解模数很$\ast \ast$的组合数求解，比如模小素数，会遇到不一定互质即没有逆元的情况。

$$C_n^m\equiv C_{n/p}^{m/p}{C}_{nmodp}^{mmodp}$$

或者说 $(n_i,m_i)$ 是 $(n,m)$ 在 $p$ 进制上的一组，$C_{n_i}^{m_i}$ 的积就是答案力（（（

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因为你可能想问为什么，所以原神会告诉你答案。

我们要求解 $C_n^{m}modp$，我们设 $n=ap+b,m=cp+d$，其中 $0\le b,d<p$，

我们要证明的是 $C_n^m=C_a^b{C}_c^d(\mathrm{mod}p)$。

根据二项式定理，$C_n^m$ 跟 $(1+x{)}^n$ 中 $x^m$ 的系数是相等的。

我们在 $modp$ 意义下进行推导：

$$(1+x{)}^n\equiv (1+x{)}^{ap+b}\equiv ((1+x{)}^p{)}^a(1+x{)}^b$$

对于 $C_p^i=\frac{p!}{i!(p-i)!}$，只有当 $i=0,p$ 的时候取到 $1$，其它时候都是 $p$ 的倍数。 我们把 $(1+x{)}^p$ 展开，在 $modp$ 的情况下其实只剩下 $1+x^p$ 了，继续推导 qwq

$$((1+x{)}^p{)}^a(1+x{)}^b\equiv (1+x^p{)}^a(1+x{)}^b\equiv \sum _{i=0}^a{C}_a^i{x}^{pi}\sum _{j=0}^b{C}_b^j{x}^j$$

我们再次回看 $x^m$ 的系数，你不是 $m=cp+d$ 嘛，那是不是等于 $C_a^c{C}_b^d$，赢！

int p, mul[MN], inv[MN]; 
mul[0]=inv[0]=1;
mul[1]=inv[1]=1;
for(int i=2; i<p; ++i) mul[i]=mul[i-1]*i%p;
for(int i=2; i<p; ++i) inv[i]=inv[p%i]*(p-p/i)%p;
for(int i=2; i<p; ++i) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%p;
int c(int a,int b,int p) {
	if(a<b) return 0;
	return (mul[a]*inv[b]%p)*inv[a-b]%p;
}
int lucas(int a,int b,int p) {
	if(b==0) return 1;
	int lucas(a/p,b/p,p)*c(a%p,b%p,p)%p;
}

不想递归的话，可以这么写 qwq

int lucas(int a,int b,int p) {
	if(a<b) return 0;
	int res=1;
	for( ; a; a/=p, b/=p)
		res=res*c(a%p,b%p,p)%p;
	return res;
}