最长公共子序列

最长公共子序列

题目描述

给定长度为 \(n\) 的数组 \(a\)，长度为 \(m\) 的数组 \(b\)，求其最长公共子序列长度

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DP

\(f[i][j]\) 表示 \(a\) 前 \(i\) 项和 \(b\) 前 \(j\) 项的最长公共子序列长度

因为如果我们要在序列尾巴上加元素是不跟前面选了什么有关系的，所以没有后效性，珂以 DP

很显然我们可以选择不选 \(a_i\)，所以可以转移 \(f[i-1][j]\)

我们亦可以不选 \(b_j\)，所以可以转移 \(f[i][j-1]\)

如果要选 \(a_i\) 和 \(b_j\) 的话，必须满足 \(a_i=b_j\)，因为是公共子序列，我们将 \(a_i\) 和 \(b_j\) 加进去，所以可以转移 \(f[i-1][j-1]+1\)

对于既不选 \(a_i\) 也不选 \(b_j\) 的状态，可以不用转移，因为肯定不会优于第三种，也已经在第一第二种中转移过了

综上，有

\[f[i][j]=max\{f[i-1][j],f[i][j-1],f[i-1,j-1]+1\} \]

其中第三个状态要满足 \(a_i=b_j\) 才能转移，\(1\leq i\leq lena,1\leq j\leq lenb\)

初始化 \(f[i][0]=0,f[0][j]=0\)，目标是 \(f[lena][lenb]\)

code

for(int i=1; i<=n; ++i)
	for(int j=1; j<=m; ++j) {
		f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
		if(a[i]==b[j])
			f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
	}