单源最短路之迪杰斯特拉算法（Dijkstra）
单源最短路之迪杰斯特拉算法（Dijkstra）
问题定义：
求解单源点的最短路径问题：给定带权有向图G和源点s，求点s到图G中其他点的最短路径
可以采用迪杰斯特拉算法（Dijkstra），或者SPFA算法，这里我先介绍一下第一种Dijksta算法
核心思想：
其核心思想就是贪心o(︶︿︶)o（我怎么感觉好多算法基本上不是大暴力就是大贪心）
1、指定一个节点，例如我们要计算 ‘A’ 到其他节点的最短路径
2、引入两个集合（S、U），S集合包含已求出的最短路径的点（以及相应的最短长度），U集合包含未求出最短路径的点（以及A到该点的路径，注意 如上图所示，A->C由于没有直接相连 初始时为∞）
3、初始化两个集合，S集合初始时 只有当前要计算的节点，A->A = 0，
U集合初始时为 A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞
ps: 直接连接的定义长度，其他认为不可达。
接下来要进行核心两步骤了
4、从U集合中找出路径最短的点，加入S集合，例如 A->D = 2
ps: 这里就是一个核心的排序流程，选择最近的一个点加入集合。
5、更新U集合路径，if ( ‘D 到 B,C,E 的距离’ + ‘AD 距离’ < ‘A 到 B,C,E 的距离’ ) 则更新U
ps: 如果通过新的路径可以让距离变得更短，就更新集合 U 信息。
6、循环执行 4、5 两步骤，直至遍历结束，得到A 到其他节点的最短路径
算法图解：
1、选定A节点并初始化，如上述步骤3所示
2、执行上述 4、5两步骤，找出U集合中路径最短的节点D 加入S集合，并根据条件 if ( ‘D 到 B,C,E 的距离’ + ‘AD 距离’ < ‘A 到 B,C,E 的距离’ ) 来更新U集合
3、这时候 A->B, A->C 都为3，没关系。其实这时候他俩都是最短距离，如果从算法逻辑来讲的话，会先取到B点。
而这个时候 if 条件变成了 if ( ‘B 到 C,E 的距离’ + ‘AB 距离’ < ‘A 到 C,E 的距离’ ) ，如图所示这时候A->B距离，其实为 A->D->B
4、思路就是这样，往后就是大同小异了
5、算法结束
松弛操作
- 假如存在一条从u 到 v的边，其长度为w（u，v）那么从s 到 v到一条新路径就是 s -> u -> v，这条新路径的长度就是dist[u] + w(u, v)，如果dist[u] + w(u, v) < 原来的dist[v]，就可以对其进行松弛操作，修改dist[v] = dist[u] + w(u, v)，一直这样子搞下去(>_<)
思考
该算法的时间复杂度是$$O(n^2)$$，主要花在了U集合中寻找最短路径上，所以我们可以用一个堆来维护最小值，将取出最短路径的复杂度降为$$O（1）$$，每次调整的复杂度降为O（elogn），e为该点的边数，所以复杂度降为O((m+n)logn)。
使用通过优先队列来维护
解题步骤为：
- 初始化
- 存图
- 进行dijkstra算法
- 输出结果
边的存储：
采用链式前向星！
首先我们需要一个结构体：
struct ran{
int to, next, val;
}tr[MAX];
和一个数组：
int head[MAX];
和一个代表边的下标的变量：
int tot = 0;
其中head存的是起点，结构体存每条边的后继节点，next“指针”和边的权值
建图的代码如下：
void built(int u, int v, int c){
tr[++tot].to = v;//第tot条边的后继节点为v
tr[tot].val = c;//第tot条边的权值为c
tr[tot].next = head[u];//存将上一个前继节点为u的边的下标
head[u] = tot;//更新头节点的值
}
边的遍历：
遍历以x为前继节点的所有边时，只需要这样：
for(int i = head[now.to]; i != -1; i = tr[i].next)
记得赋初值为-1
Dijkstra代码的实现：
P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <stdlib.h>
#include <sstream>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define MAX 500000 + 50
#define endl '\n'
#define mod 13331
#define io ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
typedef long long ll ;
//不开longlong见祖宗！
inline int IntRead(){char ch = getchar();int s = 0, w = 1;while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return s * w;}
int n, m, s, tot;
int x, y, c;
int dist[MAX];
int head[MAX];
bool vis[MAX];
struct ran{
int to, next, val;
//结构体重载，便于塞进优先队列
inline bool operator < (const ran &x)const{
return val > x.val;
}
};
ran tr[MAX], now, nextt;
priority_queue<ran>q;
void init(){//初始化
tot = 0;
mem(tr, 0);
mem(vis, 0);
mem(head, -1);
mem(dist, inf);
}
//建图
void built(int u, int v, int c){
tr[++tot].to = v;
tr[tot].val = c;
tr[tot].next = head[u];
head[u] = tot;
}
void dijkstra(){
//对起点初始化
vis[s] = true;dist[s] = 0;
//对起点单独处理，其实也可以放在对列里一起处理，不过需要用到一些什么玄学pair之类的，窝就没搞
for(int i = head[s]; i != -1; i = tr[i].next){
if(dist[tr[i].to] > tr[i].val){//松弛
dist[tr[i].to] = tr[i].val;
q.push(tr[i]);
}
}
//下面的这个窝解释不出来，得一边手推一边思考才可能看懂是什么操作
while (!q.empty()) {
now = q.top();q.pop();
if(vis[now.to])continue;
vis[now.to] = true;
for(int i = head[now.to]; i != -1; i = tr[i].next){
int u = tr[i].to;
if(dist[u] > dist[now.to] + tr[i].val){
dist[u] = dist[now.to] + tr[i].val;
nextt.to = u;
nextt.val = dist[u];
q.push(nextt);
}
}
}
//输出结果
for(int i = 1; i <= n; ++i){
if(dist[i] == inf)cout<<(int)(pow(2,31) - 1)<<' ';
else cout<<dist[i]<<' ';
}
cout<<endl;
}
int main(){
io;
cin>>n>>m>>s;
init();
for(int i = 1; i <= m; ++i){
cin>>x>>y>>c;
built(x, y, c);
}
dijkstra();
return 0;
}
