Hall定理总结
完美匹配：在二分图中所有点都匹配上了。
Hall定理：设\(M(u)\)表示与\(u\)相连的点集，一个二分图中存在完美匹配当且仅当\(\forall S\in V\),满足\(|S|\le M(S)\)，其中S是二分图左部点或者右部点的一个任意子集。
充分性：
证明：当\(|V|=1\)时，显然成立。设当\(|V|=n\)成立。
只需证明\(|V|=n+1\)时成立，取出任意一个子集\(|S|<n+1\)，若\(M(S)>|S|\)任意做一个匹配。则剩下的点仍然满足条件。
对于剩下的\(n\)个点自然也满足条件，由归纳可知成立。
若\(M(S)==|S|\)这\(|S|\)个点会构成\(|S|\)个匹配。则剩下的点满足条件，由归纳知成立。
必要性：一个完美匹配图中选出\(|S|\)个点自然存在\(M(S)>=|S|\)。
霍尔定理加强1：
最多有\(k\)个点匹配不上的充分必要条件是\(\forall S\in V\),满足\(|S|-k\le M(S)\)
霍尔定理加强2：
一个点若匹配\(k\)个点则存在完美匹配的充分必要条件为\(\forall S\in V\),满足\(|S|\cdot k\le M(S)\)。
霍尔定理加强3：若对于第\(i\)个点能匹配\(k_i\)个点则存在完美匹配的充分必要条件为\(\forall S\in V\),满足\(\sum_{w}k_w\le M(S)\)。
