Hall定理总结

完美匹配：在二分图中所有点都匹配上了。

Hall定理：设$M(u)$表示与$u$相连的点集，一个二分图中存在完美匹配当且仅当$\forall S\in V$,满足$|S|\le M(S)$，其中S是二分图左部点或者右部点的一个任意子集。

充分性：

证明：当$|V|=1$时，显然成立。设当$|V|=n$成立。

只需证明$|V|=n+1$时成立，取出任意一个子集$|S|<n+1$，若$M(S)>|S|$任意做一个匹配。则剩下的点仍然满足条件。

对于剩下的$n$个点自然也满足条件，由归纳可知成立。

若$M(S)==|S|$这$|S|$个点会构成$|S|$个匹配。则剩下的点满足条件，由归纳知成立。

必要性：一个完美匹配图中选出$|S|$个点自然存在$M(S)>=|S|$。

霍尔定理加强1：

最多有$k$个点匹配不上的充分必要条件是$\forall S\in V$,满足$|S|-k\le M(S)$

霍尔定理加强2：

一个点若匹配$k$个点则存在完美匹配的充分必要条件为$\forall S\in V$,满足$|S|\cdot k\le M(S)$。

霍尔定理加强3：若对于第$i$个点能匹配$k_i$个点则存在完美匹配的充分必要条件为$\forall S\in V$,满足$\sum_{w}k_w\le M(S)$。

例题1

例题2