P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

无人清楚我的路似那孤山起了雾。

当年的遗憾，现在弥补确是太晚了。我真想回到当初，如果我更努力一点的话。

容易想到当\(m=1\)时

\(\sum_{k=0}^{n}k\cdot x^kC(n,k),n\le 1e9\)

显有

\(kC(n,k)=nC(n-1,k-1)\)

原式=\(xn\sum_{k=1}^{n}\cdot x^{k-1}C(n-1,k-1)=xn\sum_{k=0}^{n-1}C(n-1,k)x^k=xn(1+x)^{n-1}\)

那么问题的关键即求：

\(\sum_{k=0}^{n}k^w\cdot x^kC(n,k),n\le 1e9,w\le 1000\)

用一个烂大街的斯特林数代换

\(k^w=\sum_{i=1}^{w}S(w,i)C(k,i)i!\)

原式即得

\(\sum_{k=0}^{n}k^w\cdot x^kC(n,k),n\le 1e9\)

\(=\sum_{i=1}^wS(w,i)\sum_{k=i}^nC(k,i)i!x^kC(n,k)\)

\(=\sum_{i=1}^wS(w,i)\sum_{k=i}^n\frac{n!}{(k-i)!(n-k)!}x^k\)

\(=\sum_{i=1}^wS(w,i)\sum_{k=0}^{n-i}\frac{n!}{k!(n-k-i)!}x^{k+i}\)

\(=\sum_{i=1}^wS(w,i)x^i\sum_{k=0}^{n-i}\frac{n!}{k!(n-k-i)!}x^k\)

令\(g=n-i\)

\(=\sum_{i=1}^wS(w,i)x^i\sum_{k=0}^{g}\frac{(g+i)!}{k!(g-k)!}x^k\)

\(=\sum_{i=1}^wS(w,i)x^i\frac{(g+i)!}{g!}\sum_{k=0}^{g}\frac{g!}{k!(g-k)!}x^k\)

\(=\sum_{i=1}^wS(w,i)x^i\frac{(g+i)!}{g!}\sum_{k=0}^{g}C(g,k)x^k\)

\(=\sum_{i=1}^wS(w,i)x^i\frac{(g+i)!}{g!}(1+x)^g\)

先\(w^2\)递推\(S(w,i)\)

再直接算即可。