P5505 分特产 二项式反演

分特产

设$f_i$表示至多$i$个同学有特产。$g_i$表示恰好$i$个同学有特产。

则有$f_n=\sum_{j=0}^nC(n,j)g_j$

根据二项式反演$f(n)=\sum_{i=0}^nC(n,i)g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}C(n,i)f(i)$

反演一下则有$g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}C(n,i)f(i)$

接下来考虑$f_n$怎么快速求出显然对每个物品进行隔板法即可 对于某种物品有$m$个则方案数为$C(n+m-1,n-1)$

综上答案为$g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\Pi_{j=1}^mC(n,i)C(a_j+i-1,i-1)$