线性代数小结
结论太多 把比较重要的且常用的写下来并记下证明。
R()->Rank()表示取矩阵的秩
1.
\(R(AB)\le \min \lbrace R(A),R(B)\rbrace\)
不妨设\(A=(a_1,a_2...a_m)^T\)则\(AB=(a_1B,a_2B...a_mB)\)
设A的秩为\(r\) 则A的行向量的极大无关组为\(a_1,a_2...a_r\)
则\(AB=(a_1B,a_2B...a_mB)\)中任意一个行向量显然可以用\(a_1B,a_2B...a_rB\)的线性组合来表示这意味着\(R(AB)<=R(A)\)
同理\(R(AB)\le R(B)\)综上\(R(AB)\le \min \lbrace R(A),R(B)\rbrace\)
2.
由\(A^TA=E\)推\(AA^T=E\)
并不是简单的将前者转置\((A^TA)^T=A^TA=E\)就能证明。
\(AA^TA=A\)可得\((AA^T-E)A=0\)两边再同乘\(A^{-1}\)
可得\(AA^T=E\) 但其实我们原本的式子就代表了\(A^T=A^{-1}\)
所有必有\(AA^T=E\)
