Loj 6053 简单的函数 min25筛
先求g(n,j) 目的是为了在求S(n,j)的时候可以快速获取一些质数上的点的值。
所以我们只要求g(n,j)的质数处的值正确即可其他值则不需要 所以我们可以让g所对应的函数关系满足完全积性函数。
对于这道题 我们令 g2(x)=x g1(x)=1, g=g2-g1 这样除了质数2处的点值其他质数处点值均合法 并且g1,g2均为完全积性函数.
注意到g1是必要的也要进行一遍dp 因为我们没法得到1~n内质数的个数。
所进行的dp不再赘述。接着求S(n,j) 我的含义是只1~n内最小质因子>=j的点的函数值之和。
这样可以不把1包括进去好写还好理解。每次先把j~n内质数点值获取了再枚举质数的次数来求其他处的点值。
code
//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<bitset>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
#define db double
#define INF 2000000000
#define inf 100000000000000000ll
#define ldb long double
#define pb push_back
#define put_(x) printf("%d ",x);
#define get(x) x=read()
#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define rep(p,n,i) for(int i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
#define P 1000000007ll
#define gf(x) scanf("%lf",&x)
#define pf(x) ((x)*(x))
#define uint unsigned long long
#define ui unsigned
#define sq sqrt
#define a(x) t[x].a
#define sum(x) t[x].sum
#define b(x) t[x].b
#define F first
#define S second
#define mod 1000000007
#define sc(A) scanf("%d",&A)
#define scs(A) scanf("%s",A);
#define put(A) printf("%d\n",A)
#define min(x,y) (x>=y?y:x)
#define max(x,y) (x>=y?x:y)
#define add(x,y) (x+y>=mod?x+y-mod:x+y)
using namespace std;
const int MAXN=200010;
//g1i=1 g2i=i;
ll n;
int maxx,cnt,top;
ll g1[MAXN],g2[MAXN],w[MAXN];
int sum1[MAXN],sum2[MAXN],id1[MAXN],id2[MAXN],v[MAXN],p[MAXN];
inline void prepare()
{
rep(2,maxx,i)
{
if(!v[i])
{
v[i]=p[++top]=i;
sum1[top]=sum1[top-1]+1;
sum2[top]=add(sum2[top-1],i);
}
rep(1,top,j)
{
if(p[j]>maxx/i)break;
v[p[j]*i]=p[j];
if(v[i]==p[j])break;
}
}
}
inline void calc()
{
for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
{
w[++cnt]=n/i;
j=n/w[cnt];
g1[cnt]=w[cnt]%mod;
g2[cnt]=(g1[cnt]+1)*(g1[cnt])/2%mod-1;
--g1[cnt];
if(w[cnt]<=maxx)id1[w[cnt]]=cnt;
else id2[j]=cnt;
}
rep(1,top,i)
{
rep(1,cnt,j)
{
if((ll)p[i]*p[i]>w[j])break;
ll cc=w[j]/p[i],k;
if(cc<=maxx)k=id1[cc];else k=id2[n/cc];
g1[j]=(g1[j]-(g1[k]-sum1[i-1]))%mod;
g2[j]=(g2[j]-p[i]*(g2[k]-sum2[i-1])%mod)%mod;
}
}
}
inline int S(ll x,int y)//1~x内 最小质因子大于等于y的数的答案和.
{
if(x<=1||p[y]>x)return 0;
int k=x<=maxx?id1[x]:id2[n/x];
ll ans=(g2[k]-g1[k]-sum2[y-1]+sum1[y-1])%mod;
for(int i=y;i<=top;++i)
{
if((ll)p[i]*p[i]>x)break;
ll pe=p[i],pp=pe*pe;
for(int e=1;pp<=x;++e,pe=pp,pp*=p[i])
{
ans=(ans+(ll)(p[i]^e)*S(x/pe,i+1)+(p[i]^(e+1)))%mod;
}
}
return ans;
}
signed main()
{
freopen("1.in","r",stdin);
scanf("%lld",&n);
if(n==1){puts("1");return 0;}
maxx=(int)sqrt(n*1.0)+1;
prepare();calc();put(((S(n,1)+3)+mod)%mod);
return 0;
}
