8.2 NOI模拟赛 Palindrome dp 组合计数 分类讨论
LINK:Palindrome
写过的最ex的dp 题目了 对细节要求极高的组合计数问题.
爆搜很容易写.
考虑第二个subtask 每个数字都最多只有两个
那么我们\(dp_{i,j}\)表示前i种数字单个使用了j个的方案数.
合理转移即可.
下面几个subtask很没意思 几乎和正解的分类程度差不多深 所以这里不再分析.
考虑正解：
容易观察出来出现次数为2的数字是最特殊的 因为它能无限套.
其他的出现次数只有三种形式：1 单个出现 2 自己和自己套 3 自己和其他的东西套.
其中1 3都可以外套次数2的东西.
而次数二的多一种就是 套别人/自己的形式.
那么我们考虑如何dp 出方案 我们可以把次数二外套别人单独考虑.
这样我们只需要dp出有多少个回文串即可.
而还需要知道到底有多少个可以被外套多少个不能被外套 还需要知道2的剩余数量 还要记上一次想套下一个的数量.
这里 我们考虑怎么dp合适:排列和数量为i的种类的本质不同问题.
如果两个都在dp中不考虑 那么最后乘以相应的阶乘之后会出错.
分析 考虑本质不同：我们需要在转移的时候乘以组合数类似的问题.
而排列 我们需要像插空法那样做。
考虑排列会困难一点 两个都考虑也不必要。
只考虑让他们本质不同。这样最后得到的排列就会合法.
细细分析每一个转移：
自己单独 这个可以直接乘以组合数没什么好说的.
自己套自己 需要预处理出\(s_i\)表示\(2\cdot i\)个相互配对的方案数 递推得到\(s_i=s_{i-1}\cdot (2\cdot i-1)\)
自己套别人 乘以组合数 还要乘以一个阶乘 因为这也是一个配对问题。
自己留下 乘以组合数.
重头戏是计算答案.
先要乘以排列的阶乘 然后考虑用数量为2的往上套.
考虑对一个回文串套了k个 要乘以组合数还要乘以阶乘(谁先套上去的意思.
这个东西可以再写一个dp 给dp出来.
我的做法是 仔细观察 其实是有n个回文串要分m个次数为2的套.
且回文串不同 套也不同 可以不被分到.
我们把本质不同看成本质相同 就是一个隔板法的问题.
或者可以暴力枚举分了几段每段分了多少 然后是一个组合数乘以阶乘的形式可以化简 化简之后也可以发现是一个隔板法.
说到这里这道题就讲完了.
很多东西都是在debug的时候才想到的 还是在想的时候就没有认真思考 导致浪费过多的时间.
code
//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<bitset>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
#define db double
#define INF 1000000000
#define inf 1000000000000000ll
#define ldb long double
#define pb push_back
#define put_(x) printf("%d ",x);
#define get(x) x=read()
#define gt(x) scanf("%d",&x)
#define gi(x) scanf("%lf",&x)
#define put(x) printf("%d\n",x)
#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)
#define vep(p,n,i) for(RE int i=p;i<n;++i)
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
#define RE register
#define P 13331ll
#define gf(x) scanf("%lf",&x)
#define pf(x) ((x)*(x))
#define uint unsigned long long
#define ui unsigned
#define EPS 1e-5
#define sq sqrt
#define S second
#define F first
#define mod 1000000007
#define md 998244353
#define max(x,y) ((x)<(y)?y:x)
#define l(i) t[i].l
#define r(i) t[i].r
#define mx(i) t[i].mx
#define w(i) t[i].w
#define zz p<<1
#define yy p<<1|1
using namespace std;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc()
{
return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
RE int x=0,f=1;RE char ch=getc();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getc();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getc();}
return x*f;
}
inline ll Read()
{
RE ll x=0,f=1;RE char ch=getc();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getc();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getc();}
return x*f;
}
const int MAXN=6410,maxn=82;
int n,m=80,ans,maxx;
int a[MAXN],b[MAXN];
int fac[MAXN],inv[MAXN],mi[MAXN];
inline int ksm(int b,int p)
{
int cnt=1;
while(p)
{
if(p&1)cnt=(ll)cnt*b%mod;
b=(ll)b*b%mod;p=p>>1;
}
return cnt;
}
inline int C(int a,int b)
{
return a<b?0:fac[a]*(ll)inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}
inline void add(int &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int f[2][maxn][maxn][maxn][maxn],s[maxn];
int main()
{
//freopen("1.in","r",stdin);
//freopen("1.out","w",stdout);
get(n);maxx=m;
rep(1,n,i)++a[read()];
rep(1,m,i)++b[a[i]];
fac[0]=1;mi[0]=1;
rep(1,maxx,i)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod,mi[i]=mi[i-1]*2%mod;
inv[maxx]=ksm(fac[maxx],mod-2);
fep(maxx-1,0,i)inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mod;
rep(1,m,i)ans+=C(a[i]+1,2);
printf("%d ",ans);
ans=0;
s[0]=1;
rep(1,m,i)s[i]=s[i-1]*(ll)(2*i-1)%mod;
f[0][0][0][0][0]=1;int ss=0,u=0;
rep(1,m,W)
{
u=u^1;
rep(0,ss,i)rep(0,ss,j)rep(0,b[W-1],k)rep(0,b[2],l)f[u][i][j][k][l]=0;
rep(0,ss,i)rep(0,ss,j)rep(0,min(b[W],b[W-1]),k)rep(0,b[2],l)
{
if(!f[u^1][i][j][k][l])continue;
int res=b[W]-k;
if(W==2)
{
if(k)continue;
rep(0,res/2,r)
{
int rres=res-r*2;
rep(0,min(b[W+1],rres),v)
{
int rrres=rres-v;
rep(0,rrres,vv)
add(f[u][i+v+vv][j+r][v][rrres-vv],(ll)f[u^1][i][j][k][l]*C(b[W],k)%mod*C(res,2*r)%mod*C(rres,v)%mod*C(rrres,vv)%mod*mi[r]%mod*s[r]%mod*fac[v]%mod);
}
}
}
else
{
int lim=W==1?0:res/2;
rep(0,lim,r)
{
int rres=res-r*2;
rep(0,min(b[W+1],rres),v)
{
add(f[u][i+rres][j+r][v][l],(ll)f[u^1][i][j][k][l]*C(b[W],k)%mod*C(res,2*r)%mod*C(rres,v)%mod*mi[r]%mod*s[r]%mod*fac[v]%mod);
}
}
}
}
ss+=b[W];
}
rep(0,ss,i)rep(0,ss/2,j)rep(0,b[2],l)
{
if(!f[u][i][j][0][l])continue;
int cnt=f[u][i][j][0][l];
if(i)cnt=(ll)cnt*fac[i+j]%mod*C(i+l-1,i-1)%mod*fac[l]%mod;
else
{
if(l)cnt=0;
else cnt=(ll)cnt*fac[j]%mod;
}
add(ans,cnt);
//cout<<i<<' '<<j<<' '<<0<<' '<<l<<' '<<f[u][i][j][0][l]<<' '<<cnt<<endl;
}
put(ans);
//put(ww);
return 0;
}
