CF802C Heidi and Library hard 费用流 区间k覆盖问题

LINK：Heidi and Library

先说一下简单版本的 就是权值都为1.

一直无脑加书 然后发现会引起冲突,可以发现此时需要扔掉一本书.

扔掉的话 可以考虑扔掉哪一本是最优的 可以发现扔掉nex越靠后的结果不会更差.

所以用set/堆维护一下nex的最大值 每次扔掉即可.

code

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<bitset>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
#define db double
#define INF 1000000001
#define ldb long double
#define pb push_back
#define put_(x) printf("%d ",x);
#define get(x) x=read()
#define gt(x) scanf("%d",&x)
#define gi(x) scanf("%lf",&x)
#define put(x) printf("%d\n",x)
#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)
#define vep(p,n,i) for(RE int i=p;i<n;++i)
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
#define RE register
#define P 1000000007ll
#define gf(x) scanf("%lf",&x)
#define pf(x) ((x)*(x))
#define uint unsigned long long
#define ui unsigned
#define EPS 1e-4
#define sq sqrt
#define S second
#define F first
using namespace std;
char *fs,*ft,buf[1<<15];
inline char gc()
{
	return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
	RE int x=0,f=1;RE char ch=gc();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=gc();}
	return x*f;

}
const int MAXN=400010;
int n,k,ans;
int vis[MAXN],c[MAXN],nex[MAXN];
int a[MAXN];
set<pii>s;
set<pii>::iterator it;
int main()
{
	//freopen("1.in","r",stdin);
	get(n);get(k);
	rep(1,n,i)get(a[i]),c[i]=n+1;
	fep(n,1,i)
	{
		nex[i]=c[a[i]];
		c[a[i]]=i;
	}
	rep(1,n,i)
	{
		if(vis[a[i]])
		{
			s.erase(mk(i,a[i]));
			s.insert(mk(nex[i],a[i]));
			continue;
		}
		if(s.size()>=k)
		{
			it=(--s.end());
			vis[(*it).S]=0;
			s.erase(it);
		}
		s.insert(mk(nex[i],a[i]));
		vis[a[i]]=1;++ans;
	}
	put(ans);return 0;
}

考虑这个加强版 显然不能再贪心了。

也不能dp 因为n为80这个范围已经不适合状压了.

所以考虑网络流. 如何建图才能体现出选呢?

发现非常困难 可以考虑一开始把所有选了 然后每次留下一些书来使得一些书是不用买的。

即可以转换成一些线段 有权值 覆盖到点上的话就会减少这么多权值 然后每个点不能被覆盖超过k次 求最多能被减少的权值.

这是一个经典的建图 但是我不太会.

直接说建图方法：每个点要进行拆点(i,i+n) 这样做一方面是为了满足限制 一方面是为了后面卖书的时候不会引起混乱.

S向每个i连费用为w,流量为1的边表示买这本书,i向i+1连(0,k-1)条边 因为i这个时刻要买i+1的书且要进行存放最多进来k-1本书.

然后每天可以卖出来书 那么此时 i+n向T连(1,0).

这所以这样连是为了让限流的时候好限. 最后的连边是之前的线段显然为\(pre_i-i-1\)这条线段就是 \(i-1\)向\(pre_i+n\)连(1,-c[i])的权值即可.

可以发现这样连边 必然有流流到i-1且\(pre_i+n\)没有流流出 这意味着之前必然存在一流在\(pre_i\)之前流到了现在满足线段的覆盖.

满足了要求.

code

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<bitset>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
#define db double
#define INF 1000000000
#define ldb long double
#define pb push_back
#define put_(x) printf("%d ",x);
#define get(x) x=read()
#define gt(x) scanf("%d",&x)
#define gi(x) scanf("%lf",&x)
#define put(x) printf("%d\n",x)
#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)
#define vep(p,n,i) for(RE int i=p;i<n;++i)
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
#define RE register
#define P 1000000007ll
#define gf(x) scanf("%lf",&x)
#define pf(x) ((x)*(x))
#define uint unsigned long long
#define ui unsigned
#define EPS 1e-4
#define sq sqrt
#define F first
using namespace std;
char *fs,*ft,buf[1<<15];
inline char gc()
{
	return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
	RE int x=0,f=1;RE char ch=gc();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=gc();}
	return x*f;

}
const int MAXN=81,maxn=5*MAXN<<1,MAX=MAXN*MAXN;
int n,k,len=1,ans,S,T;
int a[MAXN],c[MAXN],q[maxn<<1],pre[MAX],dis[MAX],in[MAX],vis[MAX];
int lin[MAXN*MAXN],e[maxn],ver[maxn],e1[maxn],nex[maxn];
inline void add(int x,int y,int z,int z1)
{
	ver[++len]=y;nex[len]=lin[x];lin[x]=len;e[len]=z;e1[len]=z1;
	ver[++len]=x;nex[len]=lin[y];lin[y]=len;e[len]=0;e1[len]=-z1;
}
inline int spfa()
{
	rep(1,T,i)dis[i]=INF;int l=0,r;
	dis[S]=0;q[r=1]=S;in[S]=INF;
	while(++l<=r)
	{
		int x=q[l];vis[x]=0;
		go(x)
		{
			if(!e[i])continue;
			if(dis[x]+e1[i]<dis[tn])
			{
				dis[tn]=dis[x]+e1[i];
				q[++r]=tn;in[tn]=min(in[x],e[i]);
				pre[tn]=i;if(!vis[tn])q[++r]=tn,vis[tn]=1;
			}
		}
	}
	return dis[T]!=INF;
}
inline void EK()
{
	while(spfa())
	{
		int x=T,i;
		ans+=dis[T]*in[T];
		while(x!=S)
		{
			i=pre[x];
			e[i]-=in[T];
			e[i^1]+=in[T];
			x=ver[i^1];
		}
	}
}
int main()
{
	//freopen("1.in","r",stdin);
	get(n);get(k);
	rep(1,n,i)get(a[i]);
	rep(1,n,i)get(c[i]);
	S=2*n+1;T=2*n+2;
	rep(1,n,i)
	{
		add(S,i,1,c[a[i]]);
		add(i,i+n,1,0);add(i+n,T,1,0);
		if(i+1<=n)add(i,i+1,k-1,0);
		if(pre[a[i]])add(i-1,pre[a[i]]+n,1,-c[a[i]]);
		pre[a[i]]=i;
	}
	EK();put(ans);return 0;
}