牛客挑战赛 39 牛牛与序列 隔板法 容斥 dp

LINK：牛牛与序列

(牛客div1的E题怎么这么水... 还没D难.

定义一个序列合法 当且仅当存在一个位置i满足 \(a_i>a_{i-1},a_j<a_{j-1}\)且对于所有的位置i,\(1 \leq a_i\leq k\)

人话解释：一个合法序列 每个数字都在1~k之间 且有两个相邻数字是递增关系两个相邻数字是递减关系。

发现我们枚举某两个位置递增递减再进行计数会重复 而且很难减掉重复方案。这个不能代表元容斥。

考虑总方案-不合法方案。发现不合法方案就两种不增,不降.

显然不增翻转一下就是不降 考虑求出不增的方案数 考虑从前往后放数字且数字大小递减 每个数字都可以分到一些位置。

容易发现是一个隔板法 所以总方案数为C(n+k-1,k-1).

值得注意的是 最后要加上k 因为所有数字都相同时 同时为不增和不降。

这个组合数可以O(k)计算。可以通过此题。

而题解上给了一个dp 这个dp也很显然f[i][j]表示前i个数字使用的最小数字为j的方案数。

最后答案为\(\sum_{i=1}^{k}f[n][i]\) 更扯得是 需要打标发现是上述的组合数 再接一个数学归纳法证明。

我觉得很麻烦 可能正因为如此 出题人才把这道题放到E吧.

const ll MAXN=100010;
ll n,k,T;
ll ans;
inline ll ksm(ll b,ll p)
{
	ll cnt=1;
	while(p)
	{
		if(p&1)cnt=cnt*b%mod;
		b=b*b%mod;p=p>>1;
	}
	return cnt;
}
signed main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	get(T);
	while(T--)
	{
		get(n);get(k);
		ans=ksm(k,n%(mod-1))+k;
		ll cnt=1,ww=1;
		fep(n+k-1,n+1,i)cnt=cnt*i%mod,ww=ww*(i-n)%mod;
		ww=ksm(ww,mod-2);
		putl(((ans-cnt*ww%mod*2%mod)%mod+mod)%mod);
	}
	return 0;
}