luogu P2973 [USACO10HOL]Driving Out the Piggies G 驱逐猪猡

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问题是在1时刻有个炸蛋在1号点 这个炸弹有p/q的概率爆炸 如果没有爆炸 那么会有1/di的概率选择一条边跳到另外一个点上重复这个过程。

问炸弹在第i号点上爆炸的概率。

一个比较传统的在图上期望的题目。考虑每一秒都有p/q的概率爆炸 所以当秒数过大的时候我们可以忽略不记概率了。

但是这要求需要求出每一秒炸弹在某个点的概率。

设T矩阵当前时刻炸弹在某个点的概率 显然一开始T={1,0,0,...};

可以发现在第二秒的时候 设W矩阵为由i点到j点转移的概率。

T=T×W.在第二秒的时候 炸弹爆炸的概率s为\(\frac{p}{q}(1-\frac{p}{q})\) 那么此时在各点爆炸的概率为s×T.

综上 将答案矩阵ans写出来 \(ans=\frac{p}{q}\cdot T+\frac{p}{q}\cdot T\cdot W\cdot (1-\frac{p}{q})+\frac{p}{q}\cdot T\cdot W^2\cdot (1-\frac{p}{q})^2+...\)

设 \(W=W\cdot (1-\frac{p}{q})\)

\(ans=\frac{p}{q}\cdot T+\frac{p}{q}\cdot T\cdot W+\frac{p}{q}\cdot T\cdot W^2+...\)

可以发现把公因数提出来 然后广义矩阵等比数列求和。

\(ans=\frac{p}{q}\cdot T\cdot \frac{I-W^{\infty}}{I-W}\)

可以直接将\(W^{\infty}\)给忽略掉 因为显然趋近于0.

\((I-W)\cdot ans=\frac{p}{q}\cdot T\)

I为单位矩阵 W为已知矩阵 T为已知矩阵 差ans.

不难想到高斯消元.

坑点 列矩阵的时候 W得倒着列 因为考虑一下W的列相加为右边的T.并非行相加。

所以我们将行列互换一下才行。wa了半天...

const int MAXN=310;
int n,m;
int a[MAXN][MAXN],d[MAXN];
db p,q,b[MAXN][MAXN],f[MAXN];
inline void GAUSS()
{
	rep(1,n,i)
	{
		int p=i;
		rep(i+1,n,j)if(fabs(b[j][i])>fabs(b[p][i]))p=j;
		if(p!=i){rep(1,n,j)swap(b[p][j],b[i][j]);swap(f[p],f[i]);}
		rep(1,n,j)
		{
			if(i==j)continue;
			db d=b[j][i]/b[i][i];
			rep(1,n,k)b[j][k]-=b[i][k]*d;
			f[j]-=f[i]*d;
		}
	}
	rep(1,n,i)f[i]=f[i]/b[i][i];
}
int main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	get(n);get(m);p=read();q=read();
	rep(1,m,i)
	{
		int get(x);int get(y);
		a[y][x]=a[x][y]=1;++d[x];++d[y];
	}
	rep(1,n,i)
	{
		rep(1,n,j)
		{
			if(i==j)b[i][j]=1;
			else if(a[i][j])b[i][j]=-(1.0/d[j])*(1.0-p/q);
		}
	}
	f[1]=p/q;GAUSS();
	rep(1,n,i)printf("%.9lf\n",f[i]);
	return 0;
}