bzoj 2693 jzptab

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T组数据 \(n,m\leq 1e7\) mod=1e8+9; 求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mLCM(i,j)\)

本来不打算写blog的 写完后交了两发 T的飞。

翻了两篇题解才知道自己的复杂度多ln了然后过不去。

可以简单的把式子化成\(\sum_{w=1}^{n}w\sum{d|T}\mu(d)d\cdot sum(\frac{n}{T})\cdot sum(\frac{m}{T})\)

其中sum(x)=1+2+3+...+x; 后面显然可以O(1)求。

整个式子考虑整除分块 考虑前面的东西怎么预处理出来前缀和。

设f(x) 表示 \(x\cdot \sum_{d|x}\mu(d)d\)

我们有一个公式是 \(\sum_{d|x}\mu(d)\frac{x}{d}=\phi(x)\) 和上面那个很相似 但是没乱用。

可以发现对于f(x) 我们枚举i进行调和级数的赋值这样复杂度是In的 没想到1e7没跑过去 可能也有常数的问题。

所以我们只能线性处理f(x)了。f(x)是一个积性函数 因为其为积性函数点积积性函数点积积性函数 或者我们对后半部分线性筛 因为最后还有求前缀和的时候再乘上x也不迟。

\(\sum_{d|x}\mu(d)d\)考虑这个如何线性筛 可以发现很显然。对于积性函数的我们通常筛法 利用积性函数的性质 这个当p|x的时候 显然f(p*x)=f(x);

我之所以说这么多 是有的时候 1e7是过不了一个log的 所以这个时候一定要线性。

int n,m,top,T,maxx;
int mu[MAXN],p[MAXN],v[MAXN];
ll f[MAXN];
inline void prepare()
{
	mu[1]=1;f[1]=1;
	rep(2,maxx,i)
	{
		if(!v[i]){p[++top]=v[i]=i;mu[i]=-1;f[i]=1-i;}
		rep(1,top,j)
		{
			if(maxx/i<p[j])break;
			v[i*p[j]]=p[j];
			if(v[i]==p[j]){f[i*p[j]]=f[i];break;}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
			f[i*p[j]]=f[i]*f[p[j]]%mod;
		}
	}
	rep(1,maxx,i)f[i]=(f[i]*i+f[i-1])%mod;
}
inline ll sum(int x){return (ll)(1+x)*x/2%mod;}
int main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	get(T);maxx=10000000;prepare();
	while(T--)
	{
		get(n);get(m);
		if(n>m)swap(n,m);
		ll w1,w2,ww,ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i=ww+1)
		{
			w1=n/i;w2=m/i;
			ww=min(n/w1,m/w2);
			ans=(ans+(f[ww]-f[i-1])*sum(w1)%mod*sum(w2)%mod)%mod;
		}
		putl((ans+mod)%mod);
	}
	return 0;
}