luogu P2183 [国家集训队]礼物

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n个物品 m个人 每个人要分得wi 个物品 每个物品互异 分给每个人的物品不分顺序 求方案数。

\(n,p\leq 1e9 m\leq 5\)

方案数 那显然是 第一个人拿了w1件物品 方案为组合数 第二个人在第一个人之后拿 由于礼物不分顺序 所以这么做是正确的。

方案数显然为乘法原理 组合数 是一个1e9的 模数也是1e9的 卢卡斯定理肯定不行。

上扩展卢卡斯 考虑质因数分解p 最后采用中国剩余定理合并即可。

这个模型出过好多遍了 一定要会写。

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<deque>
#include<list>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<bitset>
#include<set>
#include<map>
#include<iomanip>
#define ll long long
#define db double
#define INF 1000000000
#define ld long double
#define pb push_back
#define get(x) x=read()
#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define gt(x) scanf("%d",&x)
#define put(x) printf("%d\n",x)
#define rep(p,n,i) for(RE ll i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(ll i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define pii pair<ll,ll> 
#define mk make_pair
#define RE register
#define ull unsigned long long
#define ui unsigned ll
using namespace std;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc()
{
	return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline ll read()
{
	RE ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const ll MAXN=20,maxn=200010;
ll p,n,m,top;
ll a[MAXN],sum,ans=1;
ll w[MAXN],v[MAXN],x,y;
ll ans1[MAXN],f[maxn];
inline ll fj(ll x,ll xx,ll xxx,ll pp)
{
	ll cnt=0;
	ll ww=pp;
	while(ww<=x)
	{
		cnt+=x/ww;
		cnt-=xx/ww;
		cnt-=xxx/ww;
		ww=ww*pp;
	}
	return cnt;
}
inline ll ksm(ll b,ll p,ll mod)
{
	ll cnt=1;
	while(p)
	{
		if(p&1)cnt=cnt*b%mod;
		b=b*b%mod;p=p>>1;
	}
	return cnt;
}
inline ll jc(ll x,ll pp,ll mod)
{
	if(x<=pp)return f[x];
	ll ans=1;
	ll w=x/mod;
	ans=ksm(f[mod],w,mod);
	ans=ans*f[x%mod]%mod;
	return ans*jc(x/pp,pp,mod)%mod;
}
inline void exgcd(ll a,ll b)
{
	if(!b){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b);
	ll z=x;x=y;y=z-a/b*y;
}
inline ll inv(ll w,ll mod)//x关于mod的逆元
{
	exgcd(w,mod);
	return (x%mod+mod)%mod;
}
inline ll solve(ll a,ll b,ll pp,ll mod)
{
	ll k1=fj(a,b,a-b,pp);f[0]=1;
	rep(1,mod,i)if(i%pp)f[i]=f[i-1]*i%mod;
	else f[i]=f[i-1];
	ll ans1,ans2,ans3;
	ans1=jc(a,pp,mod);
	ans2=jc(b,pp,mod);
	ans3=jc(a-b,pp,mod);
	return ans1*inv(ans2,mod)%mod*inv(ans3,mod)%mod*ksm(pp,k1,mod)%mod;
}
inline ll C(ll a,ll b)
{
	rep(1,top,i)ans1[i]=solve(a,b,w[i],v[i]);
	ll cc=0;
	rep(1,top,i)
	{
		ll M=p/v[i];
		ll ww=inv(M,v[i]);
		cc=(cc+M*ww%p*ans1[i]%p)%p;
	}
	return cc;
}
signed main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	get(p);get(n);get(m);
	rep(1,m,i)get(a[i]),sum+=a[i];
	if(sum>n){puts("Impossible");return 0;}
	ll c=p;
	for(ll i=2;i*i<=c;++i)
		if(c%i==0)
		{
			w[++top]=i;v[top]=1;
			while(c%i==0)c/=i,v[top]=v[top]*i;
		}
	if(c>1){w[++top]=c;v[top]=c;}
	ll res=n;
	rep(1,m,i)
	{
		ans=ans*C(res,a[i])%p;
		res-=a[i];
	}
	putl(ans);
	return 0;
}

注意有两点 一是 求阶乘的时候要记得提前预处理 这样可以加速 保证复杂度稳稳log^2 而是最后中国剩余定理合并也其实是求逆。