扩展BSGS

扩展BSGS模板

求 \(A^x\equiv B(\mod p)\)

为什么不能有BSGS了？ 因为 我们的BSGS是根据欧拉定理的出来的。

欧拉定理 当 a p互质的时候 \(a^{\phi(p)}\equiv 1\mod p\)

所以 我们在BSGS的时候 质数始终都是在[0,\(\phi(p)\)-1]之中的。

这也是我们对于 一个质数m 采用根号 求一半的原因所在。

但是 当a p不互质的时候 我么有 扩展欧拉定理 \(a^c\equiv a^{c\mod \phi(p)+\phi(p)}\mod p\)

当然 这个东西起不到什么大的作用。

所以 这个时候需要 扩展欧拉定理的上场。

一个结论：当(a,p)不整除b且\(b\neq 1\)时 方程无自然数解。

这是因为 对于同余式 \(a^x\equiv b(mod p)\)而言 (a,p)>1 此时将式子展开为 \(a\cdot a^{x-1}+k\cdot p=b\)的形式 可以发现等式右边都有共有的因数(a,p);

然后 同除以(a,p) 右边为小数 而左边一定为整数 故方程无解。

当然上述式子是在x>0时 成立 考虑当x0时 必然有b1。

所以对于 (a,p)>1 且 (a,p)|b 设 g=(a,p);

那么原式为 \(a^{x-1}\cdot \frac{a}{g}\equiv \frac{b}{g}(\mod \frac{p}{g})\)

这个等式 显然是成立的。

可以发现我们得到了一个新的等式 如果此时新的 a 和 p互质了我们显然可以直接BSGS了。

如果不行 递归的进行这个操作。显然每次除以的Gcd不为1 所以最多log次。

值得注意的是 递归的时候 我们发现了

\((a^{x-1},\frac{p}{g})\)不整除\(\frac{\frac{b}{g}}{\frac{a}{g}}\) 此时也是无解的。

但是注意 由于p不是质数 所以我们需要 exgcd来求逆元。

(还挺麻烦这个算法 但是这个再麻烦也没大组合数取模版本ex...

const ll MAXN=100010;
ll a,p,b,x,y;
map<ll,ll>H;
inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void exgcd(ll a,ll b)
{
	if(!b){x=1,y=0;return;}
	exgcd(b,a%b);
	ll z=x;x=y;y=z-a/b*y;
}
inline ll inv(ll a,ll p)//a的逆元
{
	exgcd(a,p);
	return (x%p+p)%p;
}
inline ll ksm(ll b,ll p,ll mod)
{
	ll cnt=1;
	while(p)
	{
		if(p&1)cnt=cnt*b%mod;
		b=b*b%mod;p=p>>1;
	}
	return cnt;
}
inline ll BSGS(ll a,ll b,ll p)
{
	H.clear();
	ll m=(ll)sqrt(p*1.0)+1;
	ll w1=1;H[b]=0;
	rep(1,m,i)
	{
		w1=w1*a%p;
		ll cc=w1*b%p;
		H[cc]=max(H[cc],i);
	}
	ll cc=1;
	rep(1,m,i)
	{
		cc=cc*w1%p;
		if(H.find(cc)!=H.end())
			return i*m-H[cc];
	}
	return -1;
}
inline ll exBSGS()
{
	a%=p;b%=p;
	if(b==1)return 1;
	ll k=0;
	ll wp=p,w1=1,g;
	while((g=gcd(a,wp))>1)
	{
		if(b%g)return -1;
		++k;w1=a/g;b=b/g;wp=wp/g;
		b=b*inv(w1,wp)%p;
		if(b==1)return k;
	}
	ll ans=BSGS(a,b,wp);
	return ans<0?ans:ans+k;
}
signed main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	while(1)
	{
		get(a);get(p);get(b);
		//求 a^x=b(mod p)
		if(!a&&!p&&!b)return 0;
		ll ans=exBSGS();
		if(ans<0)puts("No Solution");
		else putl(ans);
	}
	return 0;
}

这个东西常数有点大了 外面一个T组数据 T<=100 里面是log+sqrt(p)log的 估计map常数大 所以开o2才过。

想的话可以手写hash 不过每次还要情况链表什么的。