不等式相关

学了一中午这个东西了 心态崩掉了 这里 我愤怒一点 还真没有我学不会的东西.

关于不等式 是有一些比较有意思的东西，当然 这里讨论高中数学的范围。

基本不等式。课本上都有 证明也比较简单 但注意成立的条件 a>0 b>0.等号取 a=b 因为开始推的时候就是a=b 只不过是不断地进行变形 并没有更改原式。 至于a>0 b>0 这个是指 为负的话不能再开根号的且约束力较小...因为一边是正数 一边是负数了。

均值不等式。具体的 a1,a2,a3...an 这n个非负实数 则 $\frac{a1+a2+a3+...an}{n}$$\geq$$\sqrt[n]{a_1*a_2*a_3*...a_n}$

当且仅当 $a_1=a_2=a_3=...a_n$时等号成立。关于证明，当n=2的时候我们显然可以发现其实就是上面的基本不等式。

我也不会什么证明方法 上归纳法吧。当n=2时命题成立，假设n=k(k>=2)时也成立，那么当n=k+1时...有好几个证明 但是我就只会一个而且还耗费了我多年的功力...如果你认识我可以找我讲，不认识自行百度...于是我们假设由n=k成功的推出了n=k+1 根据归纳法 这个不等式是成立的。

成功把自己学自闭 还是打代码吧

发现还是不太行 这里给出一个柯西用的归纳法证明的东西好了。我叫他柯西归纳法...

证明如下:

对于均值不等式的二维情况有$\frac{a+b}{2}>=\sqrt[2]{ab}$这个式子我们将其拓展到四维

$\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}>=\sqrt[2]{ab}+\sqrt[2]{cd}>=\sqrt[4]{abcd}$

我们显然还可以继续拓展到8维 发现可以拓展到$2^n$维...但是我们还是没有证明n维

现在给出如何顺利推导出n维的情况：我们令$x_1...x_n>=0$此时取$x_{n+1}=x_{n+2}=...x_{2^n}=\frac{x_1+x_2+...x_n}{n}=A$;

那么则有 $A=\frac{nA+(2^n-n)A}{2^n}>=\sqrt[2^n]{x_1x_2...x_nA^{2^n-n}}=(x_1x_2...x_n)^{\frac{1}{2^n}}A^{1-\frac{n}{2^n}};$

显然的是我们$A>=(x_1x_2...x_n)^{\frac{1}{2^n}}A^{1-\frac{n}{2^n}};$

也就是说$A^{\frac{n}{2n}}>=(x_1x_2...x_n)^{\frac{1}{2^n}}$

那么就推出了$A>=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$;这就是$\frac{x_1+x_2+...x_n}{n}>=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$了

证毕。(公式真不好打。

咕咕 将来有机会再写吧。