二分查找

定义

二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。
二分查找要求：线性表是有序表，即表中结点按关键字有序，并且要用向量作为表的存储结构，不妨设有序表是递增有序的。

算法思想

设R[low..high]是当前的查找区间

1. 首先确定该区间的中点位置;
2. 然后将待查的K值与R[mid].key比较：若相等，则查找成功并返回此位置，否则须确定新的查找区间，继续二分查找，具体方法如下：
   (1) 若R[mid].key>K，则由表的有序性可知R[mid..n].keys均大于K，因此若表中存在关键字等于K的结点，则该结点必定是在位置mid左边的子表R[1..mid-1]中，故新的查找区间是左子表R[1..mid-1]。
   (2) 若R[mid].key<K，则要查找的K必在mid的右子表R[mid+1..n]中，即新的查找区间是右子表R[mid+1..n]。下一次查找是针对新的查找区间进行的。

因此，从初始的查找区间R[1..n]开始，每经过一次与当前查找区间的中点位置上的结点关键字的比较，就可确定查找是否成功，不成功则当前的查找区间就缩小一半。这一过程重复直至找到关键字为K的结点，或者直至当前的查找区间为空(即查找失败)时为止。

实现

C++

循环实现

//循环实现
int binarySearch(vector<int> array, int target)
{
	int len = array.size() -1 ;
	int low = 0, high = len, middle;

	while (low <= high)
	{
		middle = (low + high) / 2;
		if (target == array[middle])
			return middle;
		else if (target > array[middle])
			low = middle + 1;
		else if (target < array[middle])
			high = middle - 1;
	}
	return -1;
};

递归实现

//low:初始输入为0；high：初始输入为数组元素的个数
int binarySearchRec(vector<int> array, int low, int high, int target)
{
	int middle = (low + high) / 2;
	if (low > high)
		return -1;
	if (array[middle] == target)
		return middle;
	if (array[middle] > target)
		return binarySearch(array, low, middle - 1, target);
	if (array[middle] < target)
		return binarySearch(array, middle + 1, high, target);
}

python

循环实现

def binarySearch(alist,item):
    first = 0
    last = len(alist) - 1
    found = False

    while first <= last and not found:
        midpoint = (first + last) // 2
        if alist[midpoint] == item:
            found = True
        else:
            if item < alist[midpoint]:
                last = midpoint -1
            else:
                first = midpoint +1

    return found

递归实现

def binarySearchRec(alist,item):
    if len(alist) == 0:
        return  False
    else:
        midpoint = len(alist) // 2
        if alist[midpoint] == item:
            return True
        else:
            if item < alist[midpoint]:
                return binarySearchRec(alist[:midpoint],item)
            else:
                return binarySearchRec(alist[midpoint+1:], item)

总结

二分查找的优点：
折半查找的时间复杂度为\(O(\log n)\)，远远好于顺序查找的\(O(n)\)。

二分查找的缺点：
虽然二分查找的效率高，但是要将表按关键字排序。而排序本身是一种很费时的运算。既使采用高效率的排序方法也要花费\(O(n \lg n)\)的时间。

适用情况
二分查找只适用顺序存储结构。为保持表的有序性，在顺序结构里插入和删除都必须移动大量的结点。因此，二分查找特别适用于那种一经建立就很少改动、而又经常需要查找的线性表。
对那些查找少而又经常需要改动的线性表，可采用链表作存储结构，进行顺序查找。链表上无法实现二分查找。