常微分方程

规定 $\int{p(x)\mathrm{d}x}$ 不含 $C$

一阶微分方程

一、变量分离方程

$$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\frac{X(x)}{Y(y)}$$

解：移项积分 $\int{Y(y)}\mathrm{d}y=\int{X(x)}\mathrm{d}x+C$

二、齐次方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(\frac{y}{x})$$

解: 令 $u=\frac{y}{x}$ ，则 $u+\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}x=f(u)$ $\Rightarrow$ $\frac{\mathrm{d}u}{f(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(\frac{ax+by+c}{a_1 x+ b_1y+c_1})$$

解：线性变换，令$\begin{cases} x=X+h\\ y=Y+k \end{cases}$ ，
右边分式化为 $\frac{a(X+h)+b(Y+k)+c}{a_1(X+h)+b_1(Y+k)+c_1}$ ，令$\begin{cases} ah+bk+c=0\\ a_1h+b_1k+c_1=0 \end{cases}$

若 $\left|\begin{array}{cccc} a & b \\ a_1 & b_1 \\ \end{array}\right| \neq 0$ ，$h,k$ 有解，原方程化为 $\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=f(\frac{aX+bY}{a_1 X+ b_1 Y})$ ，再令 $u=\frac{Y}{X}$ ，变为可变量分离方程

若 $\left|\begin{array}{cccc} a & b \\ a_1 & b_1 \\ \end{array}\right| = 0$ ，则 $(a_1,b_1)=\lambda (a,b)$ ，令 $u=a x+by$ ，原方程化为 $\frac{1}{b}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-\frac{a}{b}=f(\frac{u+c}{\lambda u +c_1})$ ，可变量分离

三、线性方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=q(x)$$

(1) $q(x)=0$ ，通解为

$$y=Ce^{-\int{p(x)\mathrm{d}x}}$$

(2) $q(x)\neq 0$ ，常数变易法，令 $C=c(x)$ ，代回原方程，得到 $c'(x)=q(x)e^{\int{p(x)\mathrm{d}x}}$ ，故通解为

$$y=e^{-\int{p(x)\mathrm{d}x}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x+C})$$

四、伯努利方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=q(x)y^n$$

当 $n=0$ 或 $1$ 时，就是线性方程

当 $n\neq 0$ 和 $1$ 时，同乘 $y^{-n}$ ，得 $\frac{\mathrm{d}y^{1-n}}{\mathrm{d}x}+p(x)y^{1-n}=q(x)$ ，令 $u=y^{1-n}$ ，化为线性方程

五、全微分方程

二阶线性微分方程

标准形式：

$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$

一般来说，方程的解不是唯一的，通常会包含两个独立的任意常数

二阶线性微分方程解的结构

定理 $1.$

若 $y_1(x), y_2(x)$ 是齐次方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的解，$c_1,c_2$ 是任意常数，则 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 的线性组合 $y(x)=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)$ 也是齐次方程的解。

定理 $2.$

若 $y_1(x), y_2(x)$ 是非齐次方程的两个解，则 $y_1(x)-y_2(x)$ 是齐次方程的解。

若 $y_0(x)$ 是非齐次方程的解，$y(x)$ 是齐次方程的解，则 $y_0(x)+y(x)$ 仍然是非齐次方程的解。

求出非齐次方程的一个解（称为特解）和齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

二阶常系数齐次线性微分方程

讨论

$$y''+py'+qy=0$$

的通解：

令 $y=e^{\lambda x}$ ，代入得 $(\lambda ^2+p\lambda +q)e^{\lambda x}=0$ ，有

$$\lambda ^2+p\lambda +q=0$$

称这个代数方程为微分方程的特征方程，特征方程的根称为微分方程的特征根

1. 若特征方程有 $2$ 个互异的实特征根 $\lambda_1, \lambda_2$

   $e^{\lambda_1x},e^{\lambda_2x}$都是方程的解且线性无关。因此，方程的通解为

   $$y(x)=c_1 e^{\lambda_1x}+c_2 e^{\lambda_2x}$$

2. 若特征方程有 $1$ 个实特征重根 $\lambda = -\frac{p}{2}$

   显然 $y_1=e^{\lambda x}$ 为方程的一个解，计算得另一个解为 $y_2=xe^{\lambda x}$ ，所以通解为

   $$y(x)=c_1 e^{\lambda x}+c_2 xe^{\lambda x}$$

3. 若特征方程有 $2$ 个共轭的复数特征根

   设 $\lambda_1 =\alpha+\beta i,\lambda_2 =\alpha-\beta i$ ，通解为

   $$y(x)=e^{\alpha x} (c_1 \cos{\beta x}+c_2 \sin{\beta x})$$

二阶常系数非齐次线性微分方程

讨论

$$y''+py'+qy=f(x)$$

的特解，当 $f(x)$ 比较特殊时，可以用常数变易法+待定系数法。

情况一 $f(x)=P_m(x)e^{\mu x}$

令 $y=Q(x)e^{\mu x}$ ，代入得 $Q''(x)+(2\mu+p)Q'(x)+(\mu ^2+p\mu+q)Q(x)=P_m(x)$

1. 若 $\mu ^2+p\mu+q \neq 0$ ，$Q(x)$ 为 $m$ 次多项式；
2. 若 $\mu ^2+p\mu+q = 0$ 但 $2\mu+p\neq 0$ ，$Q(x)$ 为 $m+1$ 次多项式；
3. 若 $\mu ^2+p\mu+q = 0$ 且 $2\mu+p= 0$ ，$Q(x)$ 为 $m+2$ 次多项式。

情况二 $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos{\omega x}+P_n(x)\sin{\omega x}]$

取 $m=max\{l,n\}$ :

1. 若 $\lambda + i\omega$ 不是特征方程的根，特解
   $$y(x)=e^{\lambda x}[R^{(1)}_m(x)\cos{\omega x} +R^{(2)}_m(x)\sin{\omega x}]$$

2. 若 $\lambda + i\omega$ 是特征方程的根，特解
   $$y(x)=xe^{\lambda x}[R^{(1)}_m(x)\cos{\omega x} +R^{(2)}_m(x)\sin{\omega x}]$$