物理复习｜电磁学

一、静电场基础

库伦定律：$f=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}$

高斯定理：$\oiint \boldsymbol{E}·\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_内$

环路定理：$\oint\limits_{l} \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0$

电势定义：$U_{PQ}=U_P-U_Q=\int_{P}^{Q}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$

二、导体和电介质

1. 导体

静电平衡

条件：$\boldsymbol{E}_内=0$ （根本）

性质：

1. 电势：静电平衡的导体是等势体，导体表面是等势面
2. 电荷：内部不存在净电荷，电荷只分布在导体表面
3. 场强：垂直于表面，大小为 $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

导体空腔

静电平衡时，只有内外表面可能带有电荷

接地

规律：接地相当于与 $\infty$ 连通 $\Rightarrow$ 整个导体的电势与远端相等，为 $0$

如果此时是空腔，则接地表面的电荷会导入地下，最终电荷为 $0$ ，地面成为远端；

如果外表面接地，则外部将无电场。

无限大平行金属板

电荷：2、3同，1、4同

2. 电容

定义: $C=\frac{Q}{U}$

计算: 设 $\pm q$ $\Rightarrow$ 求 $\boldsymbol{E}$ $\Rightarrow$ 求$U$ $\Rightarrow$ 得 $C$

平行板电容器: $C=\frac{\varepsilon S}{d}$ (记忆：介质+几何)

串并联:

1. 串联电荷量等；
2. 并联电势差等。

3. 电介质

极化

过程详见: https://www.cnblogs.com/chasetsai/p/18221027

极化电荷产生的电场的性质和普通电场相同，也满足高斯定理、环路定理等。

结论

平行板电容器(介质 $\varepsilon_r$): $C=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d}$

边界条件

当两介质分界面上无自由电荷时，有：

• $\boldsymbol{D}$ 的法向分量连续（高斯定理）
• $\boldsymbol{E}$ 的切向分量连续（环路定理）

三、静电能

带电体系

计算：先将 $q_1$ 从 $\infty$ 移到 $M_1$ 处；再将 $q_2$ 从 $\infty$ 移到 $M_2$ 处，过程中要经历 $q_1$ 产生的电场……

电容器储能

$A=\frac{1}{2}QU$

四、恒定磁场

毕奥-萨伐尔定律

$\mathrm{d}\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}$

常见载流回路的磁场

1. 直导线

$B=\frac{\mu_0 I}{4\pi r_0}(\cos\theta_1-\cos \theta_2)$

$r_0$ 为点到载流直导线的垂直距离，$\theta$ 为点与导线两端连线与导线所成的角

当导线无限长，$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r_0}$

2. 圆线圈轴线

$B=\frac{\mu_0}{2}\frac{R^2 I}{(r_0^2+R^2)^\frac{3}{2}}$

$r_0$ 为轴线上的点到圆心的距离， $R$ 为圆线圈半径

3. 直螺线管轴线

$B=\frac{\mu_0 nI}{2}(\cos \beta_2-\cos \beta_1)$

单位长度有 $n$ 匝，$\beta$ 是点与两端连线与轴线的夹角

磁矩（磁偶极矩）

$\boldsymbol{p}_m=IS\vec{n}$ ，其中 $S$ 是线圈面积，$\vec{n}$ 取电流产生磁场的方向

高斯定理

$$\oiint \boldsymbol{B}·\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0$$

安培环路定理

$$\oint\limits_{l} \boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu_0\sum \limits_{l内}{I}$$

当 $I$ 与环绕方向符合右手定则时，取+

安培定律

磁的本质是电流的相互作用。

令 $I_2 \mathrm{d}\boldsymbol{l}_2$ 为检验电流元，则无限长导线 $I_1$ 对电流元的作用力为 $\mathrm{d}\boldsymbol{F}=I_2 \mathrm{d}\boldsymbol{l}_2\times\boldsymbol{B}$

通电线圈在磁场中所受力矩为 $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{p}_m\times\boldsymbol{B}$ ，会使线圈的磁矩转到磁场方向（也即让磁通量最大，相对“稳定”），磁矩倾向于沿 $\boldsymbol{B}$ 方向排列。

洛伦兹力

$\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$ ，负电荷的受力需要该公式反向。

五、磁介质

磁化

顺磁性物质的固有磁矩 $\mu_{固}\neq0$ ，由于磁矩倾向于沿 $\boldsymbol{B}_0$ 方向排列，产生磁化电流 $I'$（没有载流子的宏观移动），$I'$ 又将产生磁场 $\boldsymbol{B}'$。

定义相对磁导率 $\mu_r = \frac{B}{B_0}$，顺磁性物质有 $\mu_r>1$。

抗磁质的固有磁矩 $\mu_{固}=0$ ，产生与 $\boldsymbol{B}_0$ 反向的磁矩，有 $\mu_r<1$。

铁磁质的 $\mu_r \gg 1$ ，撤去外加磁场仍能保留磁性，有磁滞回线。

磁化规律

磁化的后果

$$\begin{cases} \boldsymbol{M}\\ I'\\ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}'+\boldsymbol{B}_0\\ \end{cases}$$

• 磁化强度矢量 $\boldsymbol{M}$ : 单位体积内分子磁矩的矢量和

$$\boldsymbol{M}=\frac{1}{\Delta V}\sum \boldsymbol{p}_{m}$$

• 磁化强度矢量 $\boldsymbol{M}$ 沿任意闭合回路 $L$ 的积分等于通过以 $L$ 为周界的曲面 $S$ 的磁化电流的代数和

$$\oint\limits_{l} \boldsymbol{M}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\sum \limits_{l内}{I'}$$

• $\boldsymbol{M}$ 与介质表面磁化电流 $i'$

$$i'=\boldsymbol{M}\times\boldsymbol{n}$$

• 磁场强度矢量 $\boldsymbol{H}$：$\boldsymbol{H}=\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0}-\boldsymbol{M}$
• 有磁介质时的安培环路定理

$$\oint\limits_{l} \boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\sum \limits_{l内}{I}_0$$

• $\boldsymbol{H}$ 和 $\boldsymbol{M}$ 的关系：对于各向同性线性磁介质，有

$$\boldsymbol{M}=\chi_m \boldsymbol{H}$$

进而

$$\begin{align} \boldsymbol{B} &= \mu_0(1+\chi_m)\boldsymbol{H}\\ &=\mu_0\mu_r \boldsymbol{H} \end{align}$$

真空中 $\boldsymbol{M}=0$ ，$\chi_m=0$ ，$\mu_r=1$ ，$\boldsymbol{B}=\mu_0 \boldsymbol{H}$ ，无磁化现象。

磁场的边界条件

当两介质分界面上无传导电流（即 $I_0$ ）时，有：

• $\boldsymbol{B}$ 的法向分量连续（磁场的高斯定理）
• $\boldsymbol{H}$ 的切向分量连续（安培环路定理）

六、电磁感应

法拉第定律

$$\varepsilon=-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$$

确定电动势方向：

首先要通过右手螺旋定则同时标定回路的绕行方向和回路所包围的面积的法线方向；

电动势方向与绕行方向一致时为正；

最后，再根据磁通量变化率的正负确定 $\varepsilon$ 的正负。

虚线是标定的正方向，实线箭头表示感生电动势的方向

楞次定律

闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化

本质：能量守恒定律

动生电动势和感生电动势

电动势

把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所做的功，即 $\varepsilon=\int_{-}^{+}\boldsymbol{K}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$

动生电动势

电子受向下的洛伦兹力，向下移动，聚集产生电势差，此时会让电子受到向上的电场力，当 $evB=eK$ 时，形成稳定的电势差，$\varepsilon=\int_{-}^{+}\boldsymbol{K}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{C}^{D}(\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$

感生电动势

Maxwell 相信即使不存在导体回路，变化的磁场在其周围也会激发一种电场，他称之为感应电场或涡旋电场。

$$\oint\limits_{L}\boldsymbol{E}_{旋}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=-\iint\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}\cdot \mathrm{d}{\boldsymbol{S}}$$

负号说明 $\boldsymbol{E}_{旋}$ 的方向与 $\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}$ 成左手螺旋关系（不同于恒定磁场与电流的右旋关系）。

自感与互感

自感

当一个线圈中的电流发生变化时，它所激发的磁场穿过这个线圈，自身的磁通量也随之发生变化，从而在这个线圈中也会产生感应电动势，这种现象称为自感现象。这样产生的感应电动势，称为自感电动势。

$$B \propto I \Rightarrow \phi \propto I \Rightarrow \psi \propto I$$

设 $\psi=LI$（$\psi$ 是 $\phi$ 的 $N$ 倍），比例系数 $L$ 称为自感系数，与线圈大小、几何形状、匝数、以及介质性质有关，与电流 $I$ 的大小无关。

相应的感应电动势为：$\varepsilon=-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$

求自感系数：求 $B$ ，求 $\phi$ ，求 $L$

互感

当一个线圈中的电流发生变化时，将在它周围空间产生变化的磁场，从而在它附近的另一个线圈中产生感应电动势，这称为互感现象。这种电动势称为互感电动势。

线圈1中的电流 $I_1$ 在空间各点产生磁场 $B_1$，它穿过与线圈1相邻的线圈2的磁链为 $\psi_{12}$，则 $\psi_{12}=M_{12}I_1$ ，$M_{12}$ 称为互感系数，且可证 $M_{12}=M_{21}=M$

感应线圈的耦合

• a. 顺接

  总自感 $L=L_1+L_2+2M$

• b. 反接

  总自感 $L=L_1+L_2-2M$

互感系数与自感系数的关系

$$\phi_{12}=k_2\phi_1, \phi_{21}=k_1\phi_2$$

$$M^2=M_1M_2=\frac{N_2 k_2 \phi_{1}}{I_1}\cdot\frac{N_1 k_1 \phi_{2}}{I_2}=k_1 k_2 L_1 L_2$$

$$M=k\sqrt{L_1L_2}$$

$k$ 称为耦合系数

自感磁能

电源抵抗自感电动势所作的功，转化成为储存在线圈中的能量，称为自感磁能，记作 $W_l$ 或 $W_m$，$W_L=\frac{1}{2}LI^2$

互感磁能

在建立电流的过程中，电源除了供给线圈中产生焦耳热的能量和抵抗自感电动势作功外，还要抵抗互感电动势作功，$W_m=\frac{1}{2}L_1I_1^2+\frac{1}{2}L_2I_2^2+MI_1I_2$

磁能密度

单位体积内的磁能 $u_m=\frac{1}{2}\boldsymbol{B}\cdot{}\boldsymbol{H}$

七、麦克斯韦电磁场理论

$\vec{B}$ 变化得到 $\vec{E}$ ，那么 $\vec{E}$ 变化得到——位移电流，进而产生 $\vec{B}$

Maxwell方程组

$$\begin{cases} \oiint{\boldsymbol{D}}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum{q_0}\\ \oiint{\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}}=0\\ \oint{\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}=-\iint{\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}}\\ \oint{\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{l}}}=\sum{I_0}+\iint{\frac{\partial{\boldsymbol{D}}}{\partial{t}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}}\\ \end{cases}$$

传导电流密度：$\boldsymbol{j}_0$

位移电流密度：$\boldsymbol{j}_d=\partial{\vec{D}}/\partial{t}$

引入位移电流后，可以证明，通过 $S_1$ 和 $S_2$ 的电流相等

转载自知乎：如何理解位移电流?

变化的电场等效出来的电流就是位移电流，静电场是不会产生磁场的，恒定电流和变化的电场本质上都是变化的电荷，电荷定向位移产生了传导电流，平行电容板两极电荷的增减产生了位移电流