物理复习｜力学

力与动量

$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{w} \times \boldsymbol{r}$

惯性力: $\boldsymbol{F}_i=mw^2\boldsymbol{R}+2m\boldsymbol{v}_r\times\boldsymbol{w}$

力矩与角动量

单个质点

角动量: $\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r} \times m\boldsymbol{v}$ ，与参考点的选取有关

力矩: $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}$

角动量变化定理: $\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{M}$ ，$\boldsymbol{M}\mathrm{d}t$ 称为角冲量

质点组

一对内力角冲量之和为 $0$

角动量变化定理: $\mathrm{d}\boldsymbol{L}=(\sum{\boldsymbol{M}_i})\mathrm{d}t$ ，$\sum{\boldsymbol{M}_i}$ 是合外力矩

合外力为 $0$ 时，合外力矩与参考系无关

质心力学

质心定义（最根本）: $\boldsymbol{r}_c=\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2+...+m_n\boldsymbol{r}_n}{m_1+m_2+...+m_n}$

质心动量 $=$ 质点组总动量，即 $M\boldsymbol{v}_c=\sum m_iv_i$ ，从 $\boldsymbol{v}_c=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_c}{\mathrm{d}t}$ 导出

质点组总角动量 $=$ 质心角动量 $+$ 相对质心角动量

质点组总动能 $=$ 质心动能 $+$ 相对质心动能

总结：
（1）质心是虚拟的大号质点，集中质量并满足牛二；

（2）质心作为原点建立质心系。

ps. 不管质心系是不是惯性系，其功能原理、机械能守恒定律、角动量变化定理的形式总与惯性系中相同（这是因为质心系中惯性力做的总功、合力矩均为零）

刚体力学

我们用力矩和角动量描述刚体的运动性质

运动学观点

刚体角速度唯一

每个瞬间刚体都可看作在绕某一轴旋转

定轴转动惯量: $I=\sum{\Delta m_i R_i^2}$

• 平行轴定理: $I=I_c+md^2$
  • $I$ 为绕任意轴的转动惯量，$d$ 为到质心轴的距离
• 薄板正交轴定理: 薄板平面为 $xy$ ，则 $I_z=I_x+I_y$

刚体在 $z$ 轴（即转轴方向）上的角动量为 $\boldsymbol{L}_z=I\boldsymbol{w}$

• 由于角动量与参考点的选择有关，所以研究刚体在整个空间上的角动量具有随机性；但沿转轴方向的角动量很好确定，可以定量研究

$\boldsymbol{F}$ 和 $r$ 在 $xy$ 面上才会对刚体的 $\boldsymbol{L}_z$ 有影响，且有 $\boldsymbol{M}_{外z}=I_z \boldsymbol{\beta}_z$ （ $\boldsymbol{\beta}_z$ 为角加速度）

• 直观上就是作用在平面的力使圆盘绕轴转动

能量观点

定轴转动的转动动能: $E_k=\frac{1}{2}Iw^2$

力矩的功 $\mathrm dA_F=M_z\mathrm d\varphi$ （ $M_z$ 是力矩大小， $\varphi$ 是转过的角）

• 由力做功导出，但是用力矩描述

由质心力学的运动定理，$A_{外}=\Delta E_{kc}+\Delta(\frac{1}{2}I_cw^2)$