四边形不等式相关

四边形不等式，即：w[i , j] + w[i' , j'] <= w[i , j'] + w[i' , j]， 其中 i <= i' <= j' <= j;

看了几篇关于四边形不等式，虽然不是很深的去研究四边形不等式的相关证明，但却发现可以总结出一些类似于公式的东西，总结如下：

顺便推荐两篇论文： 《四边形不等式》， 《动态规划算法优化技巧》

我是这么总结的：

1>　　状态转移方程形如：f[i] = opt{f[j]+w[j , i]}  其中b[i] <= j <= i-1

（说明：b[i]是根据题目描述的可以决策状态i的左边界，w[j][i]是状态j转移到状态i的代价）

若w满足四边形不等式，则决策满足单调性。

所以可以采用单调队列优化。

2>　　状态转移方程形如：f[i , j] = opt{f[i-1 , k] + w[k+1 , j]},  b[i-1] <= k <= j-1

典型题目：PKU 1160 Post Office

设s[i , j]为状态f[i , j]决策变量的最大值，即s[i , j] = max{k | f[i , j] = f[i-1 , k] + w[k+1 , j]},

若w满足四边形不等式，则：

f也满足四边形不等式，f[i , j] + f[i' , j'] <= f[i , j'] + f[i' , j]， 其中 i <= i' <= j' <= j,

决策s满足单调性，即：s[i-1 , j] <= s[i , j] <= s[i+1 , j+1]，所以在决策f[i , j]是就可以减少k的枚举量，加速状态转移。

3>　　状态转移方程形如：f[i , j] = opt{f[i , k] + f[k+1 , j]} + w[i , j], i < j

典型题目：NK 1137 石子合并问题

若w满足四边形不等式， 则：

f也满足四边形不等式，f[i , j] + f[i' , j'] <= f[i , j'] + f[i' , j]， 其中 i <= i' <= j' <= j,

决策s满足单调性，即：s[i-1 , j] <= s[i , j] <= s[i+1 , j+1]。

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具体的证明可以看先前说的两篇论文，这里只给出公式化的描述。以后有时间待好好研究上面的两篇论文后在细致总结。

水平有限，文中可能有错，若有路过的神牛大牛小牛，还请指点。　谢谢。