[算法] 快速幂

下面的代码均为 C++ 代码！

1. 普通快速幂

• 例题：50. Pow(x, n)

  • 解法：递归或者迭代（时间复杂度均为$O(log\space n)$，递归空间复杂度为 $O(log\space n)$，迭代空间复杂度为 $O(1)$ ）；

• 迭代算法详解：（参考了官方题解：Pow(x, n) - 方法二：快速幂+迭代）

  我们的目标是求 $x$ 的 $n$ 次方。任何一个整数都可以用2的幂次方的和表示，这里就不证明了（学计算机的应该不至于这点都不会），因此可以使用二进制表示/存储（说白了就是数的二进制），例如5的二进制是101。即任意一个整数 $n$，有

  $$n=a_02^0+a_12^1+...+a_k2^k \\ $$

  其中 $a$ 为系数，取值为 0或1。

  因此，

  $$\begin{align} x^n &= x^{(a_02^0+a_12^1+...+a_k2^k)} \\ &=x^{a_02^0}·x^{a_12^1}· \space ... \space ·x^{a_k2^k} \end{align}$$

  由于，

  $$\begin{align} x^{2^{(b+1)}}&=x^{(2^{b}·2^1)}=x^{(2·2^b)}=x^{(2^b+2^b)}=x^{2^b}·x^{2^b} \space \\ 即，\quad x^{2^{(b+1)}}&=x^{2^b}·x^{2^b}=[x^{2^b}]^2 \end{align}$$

  因此，可以从 $x$（即 $x^{2^0}$）开始平方得到 $x^{2^1}$，$x^{2^1}$再平方得到 $x^{2^2}$，...，直到得到 $x^{2^k}$ 。在平方的过程中我们只需要在n的相应的二进制位为1时将相应的累平方乘以前面的结果就可（例如 n 的 第c位 为1，则将 $x^{2^c}$ 乘以 answer 就可，answer是快速幂的结果，详细看下面的代码），直至遍历完 $n$ 的所有位！

  class Solution {
      double quickMul(double x, long long n) {
          double answer = 1.0;
          double squareX = x;     // x，即为x^(2^0)
          while (n > 0) {
              if (n % 2 != 0) {	// 最后一位为1，则说明该
                  answer *= squareX;
              }
              squareX *= squareX;	// 累平方
              n >>= 1;			// n右移一位，也可以将n除以2
          }
          return answer;
      }
  public:
      // 求x的n次方
      double myPow(double x, int n) {
          return n > 0 ? quickMul(x, n) : 1.0 / quickMul(x, -(long long)n);
      }
  };
  

2. 矩阵快速幂（了解）

• 例题：斐波那契数列

• 下面为求裴波那契数列的第n项的代码（详细看上面的链接）：

  // 定义一个 Solution 类封装需要的函数
  class Solution {
      const int MOD = 1000000007;
  
      // 2*2矩阵（方阵）乘法
      vector<vector<long long>> matrixMul(vector<vector<long long>> &x, vector<vector<long long>> &y) {
          vector<vector<long long>> res(2, vector<long long>(2));
          for (int i = 0; i < 2; i++) {
              for (int j = 0; j < 2; j++) {
                  res[i][j] = (x[i][0] * y[0][j] + x[i][1] * y[1][j]) % MOD;
              }
          }
          return res;
      }
  
      // 矩阵快速幂
      vector<vector<long long>> fastExponentiation(vector<vector<long long>> &x, int n) {
          vector<vector<long long>> res = {{1, 0}, {0, 1}};  // 单位矩阵
          vector<vector<long long>> exponent = x;            // 2^0
          while (n) {
              if (n & 1) {
                  res = matrixMul(res, exponent);
              }
              exponent = matrixMul(exponent, exponent);
              n >>= 1;
          }
          return res;
      }
  
  public:
      int fib(int n) {
          vector<vector<long long>> x = {{1, 1}, {1, 0}};  // 定义矩阵M
          return n < 2 ? n : fastExponentiation(x, n - 1)[0][0];
      }
  };