[算法]快速幂

（基本上是从百度百科搬过来的，虽然本大佬是宇宙无敌牛逼，但是有错还请指出~谢谢，有空请你一起抠脚~么么哒）

求底数为a的n次幂：

一般解法都是“a*a*a……*a”，复杂度为O(n);

 

下面是快速幂解法：

1.把n转换为二进制，例如：

　　11转换为二进制1011；

2.将n得到的二进制以“数位的值*权值”的和表示，例如：

　　11可表示为“1*(2^3)+0*(2^2)+1*(2^1)+1*(2^0)”;

3.由第2点可以得到a的11次方为：

　　a^(1*(2^3))*a^(0*(2^2))*a^(1*(2^1))*a^(1*(2^0))；

那么就可得以下代码（下面的代码将结果取模了，因为一般的运算结果过于庞大，题目或者实际都是要求是将结果取模，如果不需要取模自行删除即可），时间复杂度是O(log2n)：

 

 

 1 #include<iostream>
using namespace std;
int main()//计算a^n % mod
{
    long long a, n, mod;
    long long re = 1;
    cin>>a>>n;
    while(n)
    {
        if(n & 1){//判断n的最后一位是否为1
            re = (re * a) % mod;
        }
        n >>= 1;//移位操作，去掉n的最后一位
        a = (a * a) % mod;
        /*这里用了一个技巧,a*a即求出了a^(2^(i-1))
        *不知道这是什么的看原理 
        *a^(2^(i-1))*a^(2^(i-1))=a^(2^i)
        *而且一般情况下a*b mod c =(a mod c)*(b mod c) mod c*/
    }
    cout<< re % mod;
    return 0;
}

 

需要注意的是，可能很多人都看不懂14行的含义：

a = (a * a) % mod;

不理解的话就只能是生搬硬套的模板，没有任何意义。虽然代码注释里都说了，但是还是得讲一下自己的理解，我也怕以后忘记了，还是以a的11次方为例：

由于n的二进制的数位的值只会是1和0，因此上面第3点得到的式子中的1省去，有：

a^(1*(2^3))*a^(0*(2^2))*a^(1*(2^1))*a^(1*(2^0))　　=>　　a^(2^3) * a^(0*(2^2)) * a^(2^1) * a^(2^0)

看到上式2的指数，那么注释里的 “ a^(2^(i-1))*a^(2^(i-1))=a^(2^i) ” 是不是就清晰易懂了呢？

至于递归的代码，这里就不给了，百度百科里面都有，感谢亲亲看完哟~