UOJ Round#6 懒癌

题目大意

\(n\)条狗,其中至少有一条得了懒癌。每个人可以看到一部分狗的情况,并且每天进行一轮推断

当它推断出自己的狗一定有懒癌时,就会将自己的狗枪毙,并且所有人停止推断。如果有多个人同时推断出则同枪毙

求在所有\(2^n-1\)种情况中,所有有狗被杀的情况中,一共过了多少天,枪毙了多少狗。


分析

首先考虑用状压\(dp\)来模拟所有的情况和转移,设\(dp_{S}\)表示集合\(S\)中的狗得了懒癌时的最小推断步数

我们考虑通过反推的方式进行转移,显然一个没有懒癌的狗永远不会被枪毙。

  1. 边界条件:当一个人能看到所有狗,并且其他狗都没有懒癌时,直接枪毙,\(dp_S=1\)

  2. 反证法:

    对于一个有懒癌的狗\(i\)进行反证

    1. 先假设自己的狗没有病
    2. 枚举所有可能的状态,即枚举所有看不到的狗是否得了病,得到后继状态集合\(\text{next}(S,i)\)
    3. 如果\(k\)步以内所有可能情况均已经达成了结束,在这个状态却没有,说明假设不成立,在\(k+1\)天就会枪毙自己的狗。

    此时,设所有可能状态集合为\(\text{next}(S,i)\),则答案为\(dp_{S,i}=\max_{T\in\text{next}(S,i)}\{dp_T\}+1\)

  3. 总转移:\(\displaystyle dp_{S}=\min_{i\in S} \{\max_{T\in\text{next}(S,i)}\{dp_T\}+1\}\)

所有不会成环的状态均有结束状态(这里并没有处理枪毙了多少狗)


简化转移

从上面的转移式中容易看出:

对于\(U\subseteq V\),一定有\(dp_{U}\leq dp_V\)

故在转移时,不再需要枚举看不到的狗是否得了病,只需要考虑它们全部得病的情况。


转移出现环的性质

对于每个\(i\)看不到\(j\)的关系(\(i\ne j\)),从\(i\)\(j\)连一条边,如果第\(i\)条狗有懒癌,则第\(i\)个点为黑点,否则为白点。

考虑简化之后的转移的过程,转移后继有着怎样的特点:

  1. 选择了一个\(S\)中的元素\(i\),并且将其删除;将\(i\)出边的所有点加入\(S\)
  2. \(S\)中的元素均没有出边时,才能够保证到达边界状态

故在建成的图上,对于一个大小\(>1\)的强连通分量(也就是存在环的分量)

一旦其中出现了黑点,该状态就永远无法到达边界状态

同样的,如果一个点能够到达一个环,那么这个点也不能是黑点

将这些非法点剔除之后,设新的图为包含\(n\)个节点的\(\text{DAG}\)


\(\text{DAG}\)上统计答案

上文已经提到了转移过程在\(\text{DAG}\)上的体现,那么考虑一个状态如何到达边界:

  1. 选择某一个 没有其他黑点能到达 的黑点,将它删掉,加入它的出边

  2. \(\text{DAG}\)上不存在黑点时,状态结束,1过程进行的次数就是答案

  • 第一问

    只需要考虑每个点被进行1操作的次数。

    容易发现,如果有一个黑点能够到达\(i\)\(i\)就会被操作一次。

    故只需要统计出有多少点能够到达\(i\)(包括\(i\)自己),设为\(f_i\),答案就是\(\sum (2^{f_i}-1)2^{n-f_i}\)

  • 第二问

    显然我们需要统计每一条狗被枪毙的次数。

    考虑上面的转移对应着一个怎样的推导过程:

    1. 在一开始的集合枚举了一个点\(i\),得到一个后继状态
    2. 经过一系列后继状态的转移到达边界,发现矛盾
    3. 一开始被枚举的那个\(i\)被枪毙

    那么被枪毙的狗,实际上就是 某一个 没有其他黑点能到达 的黑点(也就是一开始的转移式中枚举的每一个最优的\(i\))。

    容易发现答案就是\(\sum 2^{n-f_i}\)

posted @ 2021-10-15 17:04  chasedeath  阅读(316)  评论(0编辑  收藏  举报