dp多维状态的优化

dp多维状态的优化

面对一个多维dp问题，根据维度之间联系的紧密程度，我们可以选择

1.维度之间紧密相关，只能直接枚举

2.维度之间完全无关，只是贡献通过某种形式相加，可以割裂为两个dp处理

3.介于1,2之间，不能割裂计算，但是可以将转移过程割裂为若干步来优化

e.g.1: 选区间1

问题描述

对于所有二元组\(a,b, (a,b\in[1,n]\cap \Z, a\leq b)\)，给出了其权值\(w_{a,b}\)

现在求一个元组序列\(A=(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots\)，满足\(a_1<a_2,b_2<b_1\)

定义\(\displaystyle w_A=\sum w_{a_i,b_i}+\sum w_{a_{i-1},a_i}+\sum w_{b_{i-1},b_i}\) ，最大化\(w_A\)

原dp

令\(dp_{a,b}\)表示最后一个元组为\(a,b\)时的最大权值，状态数为\(O(n^2)\)

直接转移复杂度为\(O(n^2)\)，总复杂度为\(O(n^4)\)

分布转移

两维的状态决定了权值，因此不可以割裂

但是两个维度在转移时并没有必然联系，因为只涉及\(a_{i}\)和\(a_{i+1}\)，\(b_i\)和\(b_{i+1}\)的关系

因此可以先转移\(a\)这一维，然后再转移\(b\)这一维

具体的，转移可以描述如下

1.\(dp_{a,b}+w_{a,c}\rightarrow f_{c,b}\)

2.\(f_{c,b}+w_{d,b}+w_{c,d}\rightarrow dp_{c,d}\)

优化后转移复杂度为\(O(n)\)，状态数虽然加倍但是不影响量级

总复杂度为\(O(n^3)\)

e.g.2: 选区间2

问题描述

对于所有二元组\(a,b, (a,b\in[1,n]\cap \Z, a\leq b)\)，给出了其权值\(w_{a,b}\)

现在求一个元组序列\(A=(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots\)，满足\(a_1<a_2,b_2<b_1\)

定义\(\displaystyle w_A=\sum w_{a_{i-1},a_i}+\sum w_{b_{i-1},b_i}\) ，最大化\(w_A\)

原dp

令\(dp_{a,b}\)表示最后一个元组为\(a,b\)时的最大权值，状态数为\(O(n^2)\)

直接转移复杂度为\(O(n^2)\)，总复杂度为\(O(n^4)\)

分布转移

容易发现这个问题同样适用选区间1的优化

割裂

容易发现权值由\(a_i,a_{i+1}\)，\(b_i,b_{i+1}\)决定，不需要知道过程中每一个\(a_i,b_i\)的组，只需要知道数量

而\(a,b\)有单调性，所以关于\(a\leq b\)的限制只需要最后满足即可

令\(f_{i,j}\)表示已经枚举了\(i\)个元素，最后一个\(a_i=j\)时的最大值

同理，令\(g_{i,j}\)已经枚举了\(i\)个元素，最后一个\(b_i=j\)时的最大值

状态数为\(O(n^2)\)，转移复杂度为\(O(n)\)，最后可以在\(O(n^2)\)时间内合并\(f,g\)的贡献

总复杂度为\(O(n^3)\)

e.g.3: 足球

Source: COCI2012/2013 Contest#5 F

问题描述

有\(2n\)个人踢球，两队各\(n\)个人，一开始球在A队1号

每秒钟，按照一定概率球可能会被某一些对手抢走，或者传给某一些队友，或者射门

射门只有一定概率\(p_i\)射中，每次射门之后球会到对方1号队员

求\(T\)秒后比分为\(a,b\)的概率，如果一队得分达到\(r\)，视作胜利，比赛结束

为了便于分析，\(O(n)=O(T),O(r)=O(\sqrt n)\)

原dp

记录时间、比分、球的位置，状态数为\(O(Tnr^2)=O(n^2r^2)\)

转移枚举的情况不超过\(2n\)，转移复杂度为\(O(n)\)，总复杂度为\(O(n^3r^2)\)

割裂

在记录比分的同时记录球的位置并没有意义，因为实际上关键事件实际上就是射门，每次射门之后球所在位置情况是\(O(1)\)的

那么新的dp将 球的位置 和 比分情况 割裂开来

1.处理球的位置，令\(f_{i,j,k}\)表示一开始球在\(i\)队1号时，第一次射门是在\(j\)时刻，由球员\(k\)射门（\(k\)可以是两队中任何一个）

状态数为\(O(Tn)\)，转移为\(O(n)\)，这一部分复杂度为\(O(n^3)\)

2.比分情况

令\(g_{i,j,a,b}\)表示\(i\)时刻，球在\(j\)队1号，当前比分为\(a:b\)的概率

状态数为\(O(Tr^2)\)，转移为\(O(T)\)，总复杂度为\(O(T^2r^2)\)

e.g.4: 异或

Source: CSP-S 2020 初赛完善程序2 （大雾

给定长度为\(n\)的序列\(a_i\in[0,m),m=2^{16}\)，\(n\leq 10^{5}\)

设\(w(x)=\text{pop\_count}(x)+x\)，求一个子序列\(b_i\)

最大化\(\sum w(b_i\oplus b_{i+1})\)

原dp

令\(dp_{x}\)表示子序列最后一个元素为\(x\)时的答案，状态数为\(O(m)\)

对于每个数\(a_i\)，枚举前驱状态进行转移，复杂度为\(O(m)\)

总复杂度为\(O(nm)\)

分布转移

这道题看似是一个1维dp，但是实际上实际上权值是分位处理的

我们不如先看一个类似的选区间问题的变体

对于所有二元组\(a,b, (a,b\in[1,n]\cap \Z)\)，给出了其权值\(w_{a,b}\)

给定了一个元组序列\(A=(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots\)

现在要选出\(A\)的一个子序列\(B\)，定义\(\displaystyle w_B=\sum w_{a_{i-1},a_i}+\sum w_{b_{i-1},b_i}\) ，最大化\(w_B\)

实际上这两个问题是完全相同的，但是由于限制了\(a_i,b_i\)为子序列，导致分布显得比较奇怪

分布转移的过程中，转移状态应该是这样的

\((a_1,b_1)\rightarrow (a_2, b_1) \rightarrow (a_2,b_2)\)

容易发现这个过渡状态\((a_2,b_1)\)实际上并不是一个存在的元组，并不满足匹配关系

那么我们如何得到这个过渡状态呢？

1.我们手里有\((a_1,b_1)\)的dp值\(dp_{a,b}\)

2.我们并不知道\(a_2\)，于是需要向所有可能的\(a_2\)转移，得到\(f_{c,b}\)

\(\forall c,dp_{a_1,b_1}+w(b_1,c)\rightarrow f_{c,b_1}\)

3.当拿到\(a_2,b_2\)时，此时我们已经知道了\(a_2\)，但是不知道\(b_1\)，因此需要从所有\(b_1\)中得到\(dp_{a_2,b_2}\)的值

\(\forall c,f_{a_2,c}+w(c,b_2)\rightarrow dp_{a_2,b_2}\)

分析会发现，\(dp_{a,b}\)反而在这个过程中只是一个过渡值，并不需要开数组记录

于是就得到了完善程序的dp