[水]整数拆分积

[水]整数拆分积

这是一个常规（小学奥数）结论

问题：对于\(n(n\ge 3)\)，要求构造拆分\(n=\sum_{i=1}^m a_i\)，最大化\(\prod a_i\)

最优情况下，满足

1.\(n\mod 3=0\)，\(a_i=3\)

2.\(n\mod 3=2\)，\(i<m,a_i=3 ; a_m=2\)

3.\(n\mod 3=1\)，\(i<m,a_i=3 ; a_m=4\)或\(i<m-1,a_i=3 ;a_{m-1}=a_m=2\)

容易发现\(a_i=2,a_i=4\)的都是边界情况，我们只需要分析为何\(a_i=3\)能够最大化答案

考虑由高维均值不等式 \(\displaystyle \sqrt[m]{\prod a_i}\leq \frac{\sum a_i}{m}\)

\(\displaystyle \prod a_i\leq (\frac{\sum a_i}{m})^m\)

故知在\(a_i\)尽量平均时取到最值

现在只需分析\(a_i=x\)在何时取到最值

不妨用一个函数\(g(x)=x^{\frac{n}{x}}\)来描述问题

由于上标中的\(n\)不影响单调性，不妨分析\(\displaystyle f(x)=g^{\frac{1}{n}}(x)=x^{\frac{1}{x}}\)

\(f(x)=e^{\frac{\ln x}{x}}\)

\(f'(x)=e^{\frac{\ln x}{x}}\cdot \frac{1-\ln x}{x^2}\)

容易发现\(f(x)\)在\(x_0=e\)处取极大值

由于\(x'\in \Z\)，带入\(f(2)\approx 1.414,f(3)\approx 1.442\)

故取\(a_i=3\)