CF1491G - Switch and Flip
CF1491G - Switch and Flip
题目大意
有\(n\)个硬币,编号\(1-n\),第\(i\)个位置上当前放了编号\(a_i\)的硬币
每次交换\((a_i,a_j)i\ne j\),且将硬币\(a_i,a_j\)翻转
求方案使得最终使得\(a_i=i\)且每个硬币恰好为原先方向
\(n\ge 3\),方案步数\(\leq n+1\)
分析
显然要先对于\(a_i\)求出置换环,步数\(\leq n+1\)说明
1.general的情况可以用\(n\)步解决\(n\)个点
2.存在至多一个特殊情况要\(n+1\)步
手玩发现我们无法\(n\)步解决一个大小为\(n\)的环
但是如果环上恰好已经有两个硬币被翻过,那么可以
图上点表示硬币编号,箭头所指是这个硬币应该在的位置
我们从一个已经翻转的点开始,不断交换\(i,a_i\)上的硬币,会将\(a_i\)移动到到应该在的位置上
同时下一个位置被翻转
不断进行这个操作,直到这个点消去了半边环,遇到了下一个点也是被翻过的点
此时再从下一个点开始将环的另外半边消去
那么考虑如何让一个环有两个已经翻转的点
假设提取出了\(c\)个环,我们可以先尽量成对匹配两个环
通过一次跨过环的交换操作合并两个大小\(x,y\)的环,同时生成两个翻转点
然后进项上面的操作,需要\(x+y-1\)次,恰好一共\(x+y\)次
那么对于最后剩下的一个环
1.如果前面已经有环被匹配过
那么随便选择一个当前\(a_i=i\)的自环与其合并即可
2.整个图为一个大环
先通过交换\(1,a_1\)将\(a_1\)弹出,然后\(a_1\)再和环上另外一个元素交换
此时\(a_1\)变成未翻转状态,环又并成一个环+2个翻转点
const int N=2e5+10,INF=1e9+10;
int n;
int a[N],vis[N],b[N],c;
int X[N],Y[N],C,col[N];
void Swap(int x,int y){
X[++C]=x,Y[C]=y;
swap(a[x],a[y]),col[a[x]]^=1,col[a[y]]^=1;
}
void Solve(int i){
while(!col[a[i]]) i=a[i];
while(!col[a[a[i]]]) Swap(i,a[i]);
i=a[i];
while(i!=a[i]) Swap(i,a[i]);
}
int main(){
n=rd();
rep(i,1,n) a[i]=rd();
rep(i,1,n) if(!vis[i]) {
for(int j=i;!vis[j];j=a[j]) vis[j]=1;
b[++c]=i;
}
for(int i=1;i<c;i+=2) {
Swap(b[i],b[i+1]);
Solve(b[i]);
}
if(c&1) {
if(c==1) {
int t=a[1];
Swap(1,a[1]),Swap(t,a[1]);
Solve(i);
} else {
rep(i,1,n) if(a[i]==i) {
Swap(i,b[c]);
Solve(i);
break;
}
}
}
printf("%d\n",C);
rep(i,1,C) printf("%d %d\n",X[i],Y[i]);
}