CF1111E - Tree

CF1111E - Tree

题目大意

给定一棵无根树\(T\)，\(q\)次查询每次查询一个给定一个根\(r\)，点集\(S\)和限制\(m\)

求将\(S\)分成不超过\(m\)个非空集合，使得最终每个集合内不存在两点为祖先关系

分析

容易发现题目是一个给定部分点集的树形\(dp\)，因此需要用虚树来处理

将\(r\)也加入虚树，从\(r\)开始\(\text{dfs}\)即确定了根为\(r\)

dp部分

一种思路是树形背包，计算子树内分为\(i\)个集合的方案数，枚举在\(\text{LCA}\)处合并两个集合

但是由于要枚举合并的个数，难以写出优秀的复杂度

由于一条祖先链上点之间的集合独立，容易描述，因此可以考虑\(\text{dfs}\)序dp

按照\(\text{dfs}\)依次加入每一个点\(u\)，令\(dp_i\)表示当前有\(i\)个集合的方案数

则在\(i\)个集合中包含\(dep_u\)个集合\(u\)无法加入

枚举\(i\)，加入一个点\(O(m)\)转移，滚动数组即可

复杂度为\(O(n\log n+\sum |S|\cdot m)\)

const int N=1e5+10,P=1e9+7;

int n,m;
int L[N],top[N],son[N],sz[N],dfn,fa[N],dep[N];
struct Edge{
	int to,nxt;
} e[N<<1];
int head[N],ecnt;
void AddEdge(int u,int v){
	e[++ecnt]=(Edge){v,head[u]};
	head[u]=ecnt;
}

void dfs(int u){
	sz[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
		int v=e[i].to;
		if(v==fa[u]) continue;
		dep[v]=dep[fa[v]=u]+1,dfs(v);
		if(sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;
		sz[u]+=sz[v];
	}
}
void dfs(int u,int t){
	top[u]=t,L[u]=++dfn;
	if(son[u]) dfs(son[u],t);
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
		int v=e[i].to;
		if(v==son[u] || v==fa[u]) continue;
		dfs(v,v);
	}
}
int LCA(int x,int y){
	while(top[x]!=top[y]) dep[top[x]]>dep[top[y]]?x=fa[top[x]]:y=fa[top[y]];
	return dep[x]<dep[y]?x:y;
}

vector <int> G[N];
int stk[N],T;
void Link(int u,int v){ G[u].pb(v),G[v].pb(u); }
void Ins(int u){
	if(T<=1) return void(stk[++T]=u);
	int lca=LCA(u,stk[T]);
	if(lca==stk[T]) return void(stk[++T]=u);
	while(T>1 && L[stk[T-1]]>=L[lca]) Link(stk[T],stk[T-1]),T--;
	if(stk[T]!=lca) Link(stk[T],lca),stk[T]=lca;
	stk[++T]=u;
}
int dis[N],mk[N];

int dp[310],a[N],c,rt;
void dfs_dp(int u,int f){
	dis[u]=dis[f]+mk[u];
	if(mk[u]) drep(i,m,0) dp[i]=((i?dp[i-1]:0)+1ll*(i-dis[f])*dp[i])%P;
	for(int v:G[u]) if(v!=f) dfs_dp(v,u);
	mk[u]=0,G[u].clear();
}

int main(){
	n=rd(),m=rd();
	rep(i,2,n){
		int u=rd(),v=rd();
		AddEdge(u,v),AddEdge(v,u);
	}
	dfs(1),dfs(1,1);
	rep(_,1,m) {
		c=rd(),m=rd(),rt=rd();
		rep(i,1,c) mk[a[i]=rd()]=1;
		a[++c]=1,a[++c]=rt;
		sort(a+1,a+c+1,[&](int x,int y){ return L[x]<L[y]; });
		T=0;
		rep(i,1,c) if(a[i]!=a[i-1]) Ins(a[i]);
		while(T>1) Link(stk[T-1],stk[T]),T--;
		rep(i,0,m) dp[i]=0;
		dp[0]=1;
		dfs_dp(rt,0);
		int ans=0;
		rep(i,1,m) ans+=dp[i],Mod1(ans);
		printf("%d\n",ans);
	}
}