CF1379F2 - Chess Strikes Back (hard version)

CF1379F2 - Chess Strikes Back (hard version)

题目大意

给定一个\(2n\times 2m\)的交错棋盘，一个位置\((i,j)\)可以放当且仅当\(2|i+j\)

给定\(q\)次操作，每次操作在一个位置加入或删除一个障碍

求是否存在一种方案能在棋盘上放入\(nm\)个互不攻击的国王（国王走九宫格）

分析

棋盘是交错的减少了很多无法处理的情况

容易发现，任何一个King都只能在它自己\(2\times 2\)的小方格内选择两种位置

如果一个\(2\times 2\)的单元左上角被填了，那么它就只能选择右下角

而根据这个King的互斥位置，在其右下方的所有King都只能选择右下角

如果右下角被占了同理，左上方的King只能选择左上角

实际上判定是否有解就是判定这些关系是否互斥，将每个点按照其所属\(2\times 2\)单元编号

则问题转化为一个检查二维偏序的问题

删点容易通过线段树分治转化，偏序可以用树状数组处理

const int N=2e5+10,P=998244353;

int n,m,q;
int X[N],Y[N];
int A[N*20],B[N*20],C[N*20],T;
int ans;
void Add(int x,int y){
	int t=x&1;
	x=(x+1)/2,y=(y+1)/2;
	if(t) {
		for(int i=x;i<=n;i+=i&-i) ans+=Y[i]>=y;
		for(int i=x;i<=n;i+=i&-i) if(X[i]>y) A[++T]=0,B[T]=i,C[T]=X[i],X[i]=y;
	} else {
		for(int i=x;i;i-=i&-i) ans+=X[i]<=y;
		for(int i=x;i;i-=i&-i) if(Y[i]<y) A[++T]=1,B[T]=i,C[T]=Y[i],Y[i]=y;
	}
}
void Back(){
	if(A[T]==0) X[B[T]]=C[T];
	else Y[B[T]]=C[T];
	T--;
}

map <Pii,int> M;
vector <Pii> G[N<<2];
void Ins(int p,int l,int r,int ql,int qr,Pii x){
	if(ql<=l && r<=qr) return G[p].pb(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid) Ins(p<<1,l,mid,ql,qr,x);
	if(qr>mid) Ins(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,x);
}

void Solve(int p,int l,int r){
	int t1=T,t2=ans;
	for(auto i:G[p]) Add(i.first,i.second);
	if(l==r) puts(ans?"NO":"YES");
	else {
		int mid=(l+r)>>1;
		Solve(p<<1,l,mid),Solve(p<<1|1,mid+1,r);
	}
	while(T>t1) Back();
	ans=t2;
}

int main(){
	memset(X,10,sizeof X);
	n=rd(),m=rd(),q=rd();
	rep(i,1,q) {
		int x=rd(),y=rd();
		Pii t(x,y);
		if(M[t]==0) M[t]=i;
		else Ins(1,1,q,M[t],i-1,t),M[t]=0;
	}
	for(auto i:M) if(i.second!=0) Ins(1,1,q,i.second,q,i.first);
	Solve(1,1,q);
}