CF1516E - Baby Ehab Plays with Permutations

CF1516E - Baby Ehab Plays with Permutations

题目大意

给定一个排列\(1-n\)，对于每个\(i\in[1,k]\)，求出恰好操作\(i\)能够生成的不同排列个数

分析

设排列为\(P_i\)，考虑对于最终态每个\((i,P_i)\)构成的环组进行\(dp\)

一个长度为\(n\)的环有\((n-1)!\)种可能的排列，且需要至少\(n-1\)次操作得到

考虑先\(dp\)求出至少\(i\)次操作，生成了总长为\(j\)的环的种类数，合并两个环类似\(\text{exp}\)计算

偶数操作显然是可以抵消的，并且奇数次操作无法抵消，故还需根据奇偶性累前缀和

const int N=410,P=1e9+7;

int n,m;
ll qpow(ll x,ll k=P-2){
	ll res=1;
	for(;k;k>>=1,x=x*x%P) if(k&1) res=res*x%P;
	return res;
}
int C[N][N],F[N],D[N],I[N],J[N];
int dp[N][N];

int main(){
	n=rd(),m=rd();
	rep(i,0,N-1) rep(j,*C[i]=1,i) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%P;
	I[0]=I[1]=J[0]=J[1]=1;
	rep(i,2,N-1) {
		J[i]=1ll*J[i-1]*i%P;
		I[i]=1ll*(P-P/i)*I[P%i]%P;
	}
    // D[i]=C(n,i)
	D[0]=1;
	rep(i,1,min(m*2,n)) D[i]=1ll*D[i-1]*(n-i+1)%P*I[i]%P;
	rep(i,1,N-1) I[i]=1ll*I[i-1]*I[i]%P;
	dp[0][0]=1;
	rep(i,0,m) rep(j,0,i*2) if(dp[i][j]) rep(k,1,m-i) {
		// 生成了k+1个数
		// C[j+k+1][j] 组合，强制一个元素在第一位
		// J[k] 环排列
		dp[i+k][j+k+1]=(dp[i+k][j+k+1]+1ll*dp[i][j]*C[j+k][j]%P*J[k])%P;
	}
	rep(i,0,m) rep(j,0,i*2) if(dp[i][j]) F[i]=(F[i]+1ll*D[j]*dp[i][j])%P;
	rep(i,2,m) F[i]+=F[i-2],Mod1(F[i]);
	rep(i,1,m) printf("%d ",F[i]);
}