[水]幂前缀和的生成函数
幂前缀和的生成函数
问题描述:
对于给定的大数\(m\),求\(\displaystyle k\in[1,n],F_k=\sum _{i=1}^m i^k\)
\(F_k=\sum _{i=1}^m i^k\),每一项的组合意义即:为\(k\)个元素每个染上\(i\)种颜色中的一个
下面是用斯特林数的推导
带入第二类斯特林数的组合意义,得到
\(\displaystyle F_k=\sum_{i=1}^m \sum_{j=0}^{\infty} \binom{i}{j}\begin{Bmatrix}k\\ j\end{Bmatrix}j!\)
合并外层循环的组合数前缀和
\(\displaystyle F_k=\sum_{i=0}^{\infty} \binom{m+1}{i+1}\begin{Bmatrix}k\\ i\end{Bmatrix}i!\)
我们知道第二类斯特林数的\(\text{EGF}\)
\(\displaystyle S(x)=\sum \begin{Bmatrix}i\\m \end{Bmatrix}\frac{x^i}{i!}=\frac{1}{m!}(e^x-1)^m\)
其意义是合并每一种颜色的元素的\(\text{EGF}\),要求每种颜色个数\(\ge 1\),同时颜色之间无序,最后除掉
带入\(F_k\)的式子,得到\(F_k\)的\(\text{EGF}\)
\(\displaystyle F(x)=\sum \binom{m+1}{i+1}(e^x-1)^i\)
带入二项展开
\(\displaystyle F(x)=\frac{e^{(m+1)x}-1}{e^x-1}\)
停停停
这个东西不是直接根据\([x^n]e^{ax}=\cfrac{a^n}{n!}\)
就会发现是\(\displaystyle \sum_{i=0}^m e^{ix}=\frac{e^{(m+1)x}-1}{e^x-1}\)吗
线性解法
待补。。。