k短路

k短路

好像是一个比较简单的东西

对于 正权有向图，\(\displaystyle G=(V,E),V=\{V_i\}_{i=1}^nE=\{(u_i,v_i,w_i)\}_{i=1}^m\)

求\(s\)到\(t\)的前\(k\)短路

考虑建立反图\(G'=(V,E')\)，容易\(\text{Dijkstra}\)求得\(t\)的单源最短路\(dis_i\)，并且建立一棵最短路树

考虑\(s\rightarrow t\)的最短路，一定是走了一些树边和非树边

选择一条非树边\((u,v,w)\)会使长度增加\(w'=w-(dis_u-dis_v)\)，称\(w'\)为额外长度

考虑我们选择的非树边序列\((u_i,v_i,w_i)\)，显然有：\(u_{i+1}\)是\(v_i\)在最短路树上的祖先

考虑用搜索扩展的方式来遍历所有路径情况

记录当前的节点\(u\)，产生的额外长度\(d\)，则每次的扩展可以归纳为

1.从\(u\)所有祖先中取出边的集合\(S_u\)

2.依次遍历\(S_u\)中的所有边\((u_i,v_i,w'_i)\)，进入递归\(u'=v_i,d'=d+w'_i\)

每次扩展会产生一个新的状态，且恰好可以遍历每一个状态一次

\[\ \]

然而，为了求出前\(k\)短路，我们必须按照答案从小到大遍历

那么我们首先需要将集合\(S_u\)排序，从小到大遍历，其次要对于不同的递归情况按照大小扩展

容易想到用一个堆维护扩展的顺序，为了保存遍历\(S_u\)集合的过程，记录一个指针\(p\)

此时，用堆维护扩展的方法显然：

1.取出堆顶状态\((u,d,p)\)

2.转移

2-1.在当前递归栈中移动\(p\leftarrow p+1\)，改变\(d\)

2-2.模拟上面，建立新的递归栈，同时令指针为\(0\)

得到\(u'=v_{u,p},d'=d+w'_{v,0},p'=0\)

如果暴力处理出\(S_u\)，则预处理复杂度为\(O(nm\log m)\)，状态扩展复杂度为\(O(2k\log k)\)

用可持久化可并堆处理\(S_u\)，\(p\)记录当前堆顶节点指针

每次扩展\(p\leftarrow lson_p\)或者\(p\leftarrow rson_p\)，增加一个扩展状态

则预处理复杂度以及空间复杂度为\(O(m\log m)\)，状态扩展复杂度为\(O(3k\log k)\)

Luogu P2483

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef double db;
typedef pair <db,int> Pair;
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)
template <class T> inline void cmin(T &a,T b){ ((a>b)&&(a=b)); }
template <class T> inline void cmax(T &a,T b){ ((a<b)&&(a=b)); }

char IO;
template <class T=int> T rd(){
	T s=0; int f=0;
	while(!isdigit(IO=getchar())) f|=IO=='-';
	do s=(s<<1)+(s<<3)+(IO^'0');
	while(isdigit(IO=getchar()));
	return f?-s:s;
}

const int N=5010,M=2e5+10;
const db eps=1e-7,INF=1e18;

template <class T> class Heap{
public:
	T val;
	int h;
	Heap *ls,*rs;
	T top(){ return val; }
	Heap(){}
	Heap(Heap *x):val(x->val),h(x->h),ls(x->ls),rs(x->rs){ ; }
	Heap(T val):val(val),h(0),ls(0),rs(0){ ; }
	friend Heap* Union(Heap *x,Heap *y){
		if(!x) return y;
		if(!y) return x;
		if(y->val<x->val) swap(x,y);
		Heap* u=new Heap(x);
		u->rs=Union(u->rs,y);
		if(u->rs && (!u->ls || u->rs->h>u->ls->h)) swap(u->ls,u->rs);
		u->h=u->rs?u->rs->h+1:1;
		return u;
	}
	Heap* pop(){ return Union(ls,rs); }
	friend Heap* push(Heap *u,T val){ return Union(u,new Heap(val)); }
};
typedef Heap <Pair> Node;
Node *rt[N];

struct Edge{
	int to;db w;
	Edge *nxt;
	Edge(){}
	Edge(int to,db w,Edge* nxt):to(to),w(w),nxt(nxt){ ; }
};
Edge *head[N],*pre[N];
void AddEdge(int u,int v,db w){
	Edge* t=new Edge(v,w,head[u]);
	head[u]=t;
}
int n,m,fa[N];
db E,dis[N];

void Dijkstra(int u){
	static priority_queue <Pair,vector<Pair>,greater<Pair>> que;
	rep(i,1,n) dis[i]=INF;
	dis[u]=0,que.push({0,u});
	while(!que.empty()){
		int u=que.top().se;db d=que.top().fi; que.pop();
		if(dis[u]<d-eps) continue;
		for(Edge *i=head[u];i;i=i->nxt) {
			int v=i->to;
			if(dis[v]>dis[u]+i->w+eps) pre[v]=i,fa[v]=u,que.push({dis[v]=dis[u]+i->w,v});
		}
	}
}

void Construct(){
	static int I[N];
	rep(i,1,n) I[i]=i;
	sort(I+1,I+n+1,[&](int x,int y){ return dis[x]<dis[y]; });
	rep(u,1,n) {
		for(Edge *i=head[u];i;i=i->nxt) {
			int v=i->to;
			if(pre[v]==i) continue;
			rt[v]=push(rt[v],mp(i->w-(dis[v]-dis[u]),u));
		}
	}
	rt[n]=0;
	rep(j,1,n) {
		int u=I[j];
		rt[u]=Union(rt[u],rt[fa[u]]);
	}
}

struct State{
	db s;
	Node *rt;
	bool operator < (const State &__) const {
		return s>__.s;
	}
};

int ans;
void Kth_Path(){
	static priority_queue <State> que;
	if(dis[1]>E+eps) return void(puts("0"));
	ans=1,E-=dis[1];
	if(rt[1]) que.push({dis[1]+rt[1]->val.fi,rt[1]});
	while(!que.empty()) {
		State u=que.top(); que.pop();
		if(u.s>E+eps) break;
		int v=u.rt->val.se;
		ans++,E-=u.s;
		if(rt[v]) que.push({u.s+rt[v]->top().fi,rt[v]});
		u.s-=u.rt->val.fi;
		if(u.rt->ls) {
			Pair w=u.rt->ls->val;
			que.push({u.s+w.fi,u.rt->ls});
		}
		if(u.rt->rs) {
			Pair w=u.rt->rs->val;
			que.push({u.s+w.fi,u.rt->rs});
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
}

int main(){
	n=rd(),m=rd(),scanf("%lf",&E);
	rep(i,1,m){
		int u=rd(),v=rd();db w; scanf("%lf",&w);
		AddEdge(v,u,w);
	}
	Dijkstra(n);
	Construct();
	Kth_Path();
}