拉格朗日反演 (Lagrange Inversion)

拉格朗日反演 (Lagrange Inversion)

复合逆

对于\(F(G(x))=x (\Leftrightarrow G(F(x))=x)\)，则称\(F(x)\)与\(G(x)\)互为复合逆，下文中记为\(\hat F(x)\)

存在复合逆的条件为\([x^0]F(x)=0,[x^1]F(x)\ne 0\)

\[\ \]

拉格朗日反演

对于\(G(x)=\hat F(x)\)得到关于\(F(x)\)的拉格朗日反演表达式

\(\displaystyle [x^n]G(x)=\frac{1}{n}[x^{-1}](\frac{1}{F(x)})^n\)

由于\([x^0]F(x)=0\)无法求逆，所以上式更通用的形式是

\(\displaystyle [x^n]G(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{x}{F(x)})^n\)

\[\ \]

求解复合逆

对于给定的\(F(x)\)，求其复合逆\(G(x)=\hat F(x)\)

带入拉格朗日反演的式子

\(\displaystyle G(x)=\sum \frac{1}{i}[x^{i-1}](\frac{x}{F(x)})^i x^i\)

求这个式子的核心是 分块+暴力

\(i=a\cdot S+b,S=\sqrt n\)，对于每个\(a,b\)卷积求出\(\displaystyle (\frac{x}{F(x)})^{Sa},(\frac{x}{F(x)})^b\)

然后直接对于每个位置把两个式子暴力\(O(n)\)合并即可

两部分复杂度总和为\(O(n\sqrt n\log n+n^2)\)

\[\ \]

扩展拉格朗日反演

对于\(G(x)=\hat F(x)\)，有\(\displaystyle [x^n]H(G(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x) (\frac{x}{F(x)})^n\)

特殊情况例如

\(\displaystyle [x^n]G^k(x)=\frac{k}{n}[u^{n-k}](\frac{u}{F(u)})^n=\frac{k}{n}[u^{-k}]F(u)^{-n}\)

也就是\(\displaystyle n[x^n]G^k(x)=k[x^{-k}]F(x)^{-n}\)

\[\ \]

\[\ \]

该式子也可以用于处理\(F(G(x))=H(x)\)的情况

此时，有\(\hat H(F(G(x)))=x\)

\(G(x)=\widehat {\hat G(F(x))}=H(\hat F(x))\)

带入得到\(\displaystyle [x^n]G(x)=[x^n]H(\hat F(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x)(\frac{x}{F(x)})^n\)

即\(\displaystyle [x^n]G(x)=\frac{1}{n}[u^{n-1}]H'(u)(\frac{u}{F(u)})^n\)

\[\ \]

另类拉格朗日反演

依然设\(G(x)=\hat F(x)\)，则

\(\displaystyle [x^n]G^k(x)=[x^{-k-1}]\frac{F'(x)}{F^{n+1}(x)}\)

改一下是

\(\displaystyle [x^n]G^k(x)=[x^{n-k}] F'(x)(\frac{x}{F(x)})^{n+1}\)

更一般的

\(\displaystyle [x^n]H(G(x))=[x^n]H(x)F'(x)(\frac{x}{F(x)})^{n+1}\)

用途：

你会发现对于不同的\(k\)，\([x^n]G^k(x)\)对应的系数居然来自同一个函数\(\displaystyle \frac{F'(x)}{F^{n+1}(x)}\)

因此用于处理求多个\(k\)的问题

---

\[\ \]

\[\ \]

后记：

明明自己什么都不会还要写博客。。。