「清华集训 2017」小 Y 和二叉树

「清华集训 2017」小 Y 和二叉树

原题数据好像没有卡这个情况

5
1 2
2 1 3
3 2 4 5
1 3
1 3

输出是

1 2 3 4 5

首先考虑一个\(O(n^2)\)的暴力：

枚举一个点为根，向下展开树，此时只需要决策左儿子和右儿子的顺序

当两个子树都存在时，由于两个子树包含的元素不同，所以可以直接把 两个子树序列首较小 (显然不会出现相同的情况) 的一个放在前面即可

实际上我们可以发现，这样得到的序列第一个元素必然是 编号最小的 、不同时包含左右儿子 的结点

不妨称固定根之后，这样的结点为叶子

\[\ \]

显然的性质：任何一个度数\(\leq 2\)的点可以作为答案序列的第一个点

设原树上最小的\(\leq 2\)的点为\(root\)，接下来对于\(root\)的不同情况讨论，要在强制\(root\)为序列首的情况下，求得最小的序列

不妨先预处理出结点\(u\)子树里最小的叶子\(mi_u\)

1.没有相邻结点，结束

2.有两个相邻结点，此时要使自己为序列首，必然有一个结点是自己的父亲，有一个结点是自己的右儿子

右儿子会被先遍历到，所以可以直接考虑比较两个相邻结点 作为 右儿子时谁的序列首 较小

即比较两个子树中最小的叶子即可

3.只有一个相邻结点，设其为\(v\)

此时要使得自己为序列第一个，只有两种可能，此时同样可以考虑比较序列首元素

3-1.让相邻结点作为自己的父亲，此时下一个元素一定是\(v\)

3-2.让相邻结点作为自己的右儿子，此时下一个元素一定是\(mi_v\)

如果\(v\ne mi_v\)，显然好决策

当\(v=mi_v\)时，必然满足\(v\)是一个叶子，此时如果将\(v\)放在父亲上，\(v\)的另一个相邻结点(如果存在)

可以放在\(v\)的父亲或者是\(v\)的右子树，如果放在\(v\)的右子树，那么这种情况与\(v\)被放在\(u\)的子树等价

也就是说，把\(v\)放在父亲可以决策出的序列情况，包含了把\(v\)放在右儿子的情况

所以这种情况也应当把\(v\)放在父亲上

实现上，不妨用两个\(dfs\)处理最后的决策，一个强制当前结点\(u\)为序列首，一个求出\(u\)子树的最优方案

在代码里就是\(Solve,dfs\_get\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)
template <class T> inline void cmin(T &a,T b){ ((a>b)&&(a=b)); }

char IO;
int rd(){
	int s=0,f=0;
	while(!isdigit(IO=getchar())) if(IO=='-') f=1;
	do s=(s<<1)+(s<<3)+(IO^'0');
	while(isdigit(IO=getchar()));
	return f?-s:s;
}

const int N=1e6+10;

int n;
int c[N],s[N][3];
int mi[N];

int rt=1e9;
void dfs(int u,int f) {
	mi[u]=1e9;
	int cnt=0;
	rep(i,0,c[u]-1) if(s[u][i]!=f) {
		int v=s[u][i]; cnt++;
		dfs(v,u),cmin(mi[u],mi[v]);
	}
	if(cnt<=1) cmin(mi[u],u);
}

int vis[N];
void dfs_get(int u) {
	vis[u]=1;
	int a=-1,b=-1;
	rep(i,0,c[u]-1) if(!vis[s[u][i]]) {
		int v=s[u][i];
		if(~a) b=v;
		else a=v;
	}
	if(a==-1) printf("%d ",u);
	else if(b==-1) {
		if(mi[a]<u) dfs_get(a),printf("%d ",u);
		else printf("%d ",u),dfs_get(a);
	} else {
		if(mi[a]>mi[b]) swap(a,b);
		dfs_get(a),printf("%d ",u),dfs_get(b);
	}
}

void Solve(int u) {
	int cnt=0;
	rep(i,0,c[u]-1) if(!vis[s[u][i]]) cnt++;
	vis[u]=1,printf("%d ",u);
	if(cnt==1) {
		rep(i,0,c[u]-1) if(!vis[s[u][i]]) {
			int v=s[u][i];
			if(v>mi[v]) dfs_get(s[u][i]);
			else Solve(v);
		}
	} else if(cnt==2) {
		int a=-1,b=-1;
		rep(i,0,c[u]-1) if(!vis[s[u][i]]) {
			int v=s[u][i];
			if(~a) b=v;
			else a=v;
		}
		if(mi[a]>mi[b]) swap(a,b);
		dfs_get(a),Solve(b);
	}
}

int main(){
	//freopen("binary.in","r",stdin),freopen("binary.out","w",stdout);
	n=rd();
	if(n==1) return puts("1"),0;
	rep(i,1,n) {
		c[i]=rd();
		if(c[i]<=2) cmin(rt,i);
		rep(j,0,c[i]-1) s[i][j]=rd();
	}
	dfs(rt,0);
	Solve(rt);
}