LOJ6729. 点双连通生成子图计数 (集合幂级数)

LOJ6729. 点双连通生成子图计数 (集合幂级数)

基础： 由子图的集合幂级数取\(\ln\)可以得到连通子图的集合幂级数，可以参考?

根据点双连通的定义，我们先求得连通子图的集合幂级数

然后考虑枚举每个节点\(i\)，把所有删去\(i\)之后不连通的方案去掉

具体实现上，可以把所有包含\(i\)的项提出，删除\(i\)之后取\(\ln\)得到连通的方案数，然后替换回去

每次取\(\ln\)的复杂度为\(O(n^22^n)\)，因此总复杂度为\(O(n^32^n)\)

常数优化：每次实际上只会修改包含\(i\)的项，不需要每次都把多项式莫比乌斯反演回去

刚开始进行一次莫比乌斯变换之后

每次可以直接从前缀和的作差得到这一项 除了\(i\)以外的位置 累和之后的结果，然后直接对于形式幂级数取\(\ln\)，具体实现见代码

注意去掉\(i\)后，占位数量\(-1\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
const int N=20,M=1<<18|3,P=998244353;
struct U{
	int x;
	U(){} U(int x):x(x){}
	inline void operator += (const U &t){ x+=t.x,x>=P&&(x-=P); }
	inline void operator -= (const U &t){ x-=t.x,x<0&&(x+=P); }
	inline U operator * (const U &t){ return U(static_cast<unsigned long long>(x)*t.x%P); }
} I[N],F[M][N],b[N];
int n,m,G[N],C[M],Pow[N*N];
void FWT(int f){
	for(int i=1;i<m;i<<=1) for(int l=0;l<m;l+=i*2) 
		for(int j=l;j<l+i;++j) if(f==1) rep(d,1,n) F[j+i][d]+=F[j][d];
		else rep(d,1,n) F[j+i][d]-=F[j][d];
}
void Ln(U *a){
	rep(i,0,n-1) {
		U t=0;
		rep(j,0,i-1) t+=b[j]*a[i-j];
		b[i]=a[i+1]*(i+1),b[i]-=t;
	}
	rep(i,1,n) a[i]=b[i-1]*I[i];
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int u,v;m--;) scanf("%d%d",&u,&v),u--,v--,G[u]|=1<<v,G[v]|=1<<u;
	m=1<<n,I[0]=I[1]=1;
	rep(i,1,m-1) C[i]=C[i&(i-1)]+1;
	rep(i,2,n) I[i]=U(P-P/i)*I[P%i];
	rep(i,Pow[0]=1,N*N-1) Pow[i]=Pow[i-1]*2%P;
	rep(i,1,m-1) {
		int c=0;
		rep(j,0,n-1) if(i&(1<<j)) c+=C[G[j]&i];
		F[i][C[i]]=Pow[c/2];
	}
	FWT(1);
	rep(i,1,m-1) Ln(F[i]);
    // 先取一次ln得到连通子图的集合幂级数
	for(int i=1;i<m;i<<=1){
		for(int l=0;l<m;l+=i*2) {
			for(int j=l;j<l+i;++j) {
				rep(k,1,n) F[j+i][k]-=F[j][k]; // 前缀和作差得到
				Ln(F[j+i]+1); // 取出自己后大小-1
				rep(k,1,n) F[j+i][k]+=F[j][k];
			}
		}
	}
	FWT(-1);
	printf("%d\n",F[m-1][n].x);
}