Equilateral Triangles

Equilateral Triangles

题意: 求所有三个点哈密顿距离相等的无序三元点对个数

推论1: 到平面中一点\((x,y)\)哈密顿距离为\(d\)的点，构成一个以\((x,y)\)为中心，\(d\)为半对角线长的菱形

菱形不好搞，转一下，令旋转后的点\(x'=x+y,y'=x-y\)，(也就是曼哈顿距离转切比雪夫距离)

这样得到的就是一个正方形了

推论2: 选出的三点中，一定存在两个点\(x\)或者\(y\)坐标相同

如果选出点\(A,B\)不满足，由下图可以看到，可行的部分(就是相交部分\(C1,C2\))也必然满足

接下来以\(x\)相同为例，枚举点\(A,B\)，设其距离为\(d\)

可以看到比较显然就是两条红色的相交线段，\(O(n^3)\)枚举\(A,B\)两点后，直接用前缀和维护即可

对于\(x\)相同，对于\(y\)相同分别做一次即可，注意考虑的时候不要把\(x,y\)都有相同的算两次

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma GCC optimize(2)
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)

const int N=610;

int n;
char A[N][N],B[N][N];
int S[N][N];
int D[N],C;

int main() {
	scanf("%d",&n);
	rep(i,1,n) {
		scanf("%s",A[i]+1);
		rep(j,1,n) if(A[i][j]=='*') B[i+j][i-j+n]=1;
	}
	int ans=0;
	rep(i,1,n*2) rep(j,1,n*2) S[i][j]=S[i][j-1]+B[i][j];
	rep(i,1,n*2) {
		C=0;
		rep(x,1,n*2) if(B[i][x]) D[++C]=x;
		rep(a,1,C) rep(b,a+1,C) {
			int d=D[b]-D[a];
			i-d>=1 && (ans+=S[i-d][D[b]]-S[i-d][D[a]-1]);
			i+d<=n*2 && (ans+=S[i+d][D[b]]-S[i+d][D[a]-1]);
		}
	}
	rep(i,1,n*2) rep(j,1,n*2) S[i][j]=S[i][j-1]+B[j][i];
	rep(i,1,n*2) {
		C=0;
		rep(x,1,n*2) if(B[x][i]) D[++C]=x;
		rep(a,1,C) rep(b,a+1,C) {
			int d=D[b]-D[a];
			i-d>=1 && (ans+=S[i-d][D[b]-1]-S[i-d][D[a]]);
			i+d<=n*2 && (ans+=S[i+d][D[b]-1]-S[i+d][D[a]]);
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
}