数论知识小结 [微提高篇]
数论知识小结 [微提高篇]
(lastest updated on 2020.08.12)
二次剩余和高次剩余
\(y^c\equiv x\pmod P\)则\(y\)为\(x\)模\(P\)的\(c\)次剩余
关于二次剩余
\(\text{Miller_Rabin}\)素数检测
\(x\)是质数的必要条件是
\(\forall a,a^{x-1}\equiv 1\pmod x\)
同于对于一个质数\(x\)，必然有
\(a^2\equiv 1\pmod x\)的解只有\(1,x-1\)
证明是
\(\because a^2\equiv 1 \pmod x\)
\(\therefore (a-1)(a+1)\equiv 0 \pmod x\)
因为\(x\)是质数，所以\(a-1\mod x=0\) 或 \(a+1\mod x=0\)，即\(a\in\{1,x-1\}\)
\(\text{Miller_Rabin}\)算法的步骤
将\(x-1\)分解为\(x-1=2^s\cdot t\)
找一个\(<x\)的质数\(a\)，求出\(b\equiv a^t \pmod x\)
将\(b\)进行\(s\)次平方，设这一次平方的结果\(b^2\equiv c \pmod x\)
当出现\(c=1\)时，\(b\)只能为\(1\),\(x-1\)否则\(x\)就不是质数
\(s\)次平方后，\(b\equiv a^{x-1}\pmod x\)，若\(b\ne 1\)，则\(x\)不是质数
不知道为什么，模板题跑5次就能过了。。。
注意\(x\leq 2\or 2|x\)要特判
注意取模需要快速乘
int Miller_Rabin(ll x){
if(x==2) return 1;
if(x<=1 || ~x&1) return 0;
ll s=0,t=x-1;
while(~t&1) s++,t>>=1;
rep(i,1,20) {
ll a=prime[rand()%primecnt+1],b=qpow(a,t,x),c;
rep(j,1,s) {
c=qmul(b,b,x);
if(c==1 && b!=1 && b!=x-1) return 0;
b=c;
}
if(b!=1) return 0;
}
return 1;
}
可以结合\(\text{Miller_Rabin}\)的\(n^{\frac{1}{3}}\)特殊情况质因数分解
实际上，这种方法常用于求\(n\)的因子个数
方法非常简单，先对于所有\(pri_i\le n^{\frac{1}{3}}\)的因子对于\(n\)筛去，剩下的部分中，所有质因子\(>n^{\frac{1}{3}}\)
因此最多包含两个质因数(可能相同)
用\(\text{Miller_Rabin}\)判断是否只包含一个质数，然后简单判别两个质因数是否相同即可
复杂度为\(O(\log n+\pi (n^{\frac{1}{3}}))\)
小范围内比下面的\(\text{Pollard's_Rho}\)更快，更简单
\(\text{Pollard's_Rho}\)质因数分解
核心就是名字里的Rho(\(\rho\))，是伪循环的一个形象的表示
伪循环：从某一个时刻开始，进入一个真循环，之前的时间就是\(\rho\)的脚
构造伪随机函数\(G_n(x)=(x^2+c)\mod n\)
构造数列\(a_i=G_n(a_{i-1})\)
由于函数的值域只有\([0,n-1]\)，必然出现伪循环，即在从个位置开始，进入一个未知长度的循环，也就是长成了一个\(\rho\)的形状
由于这个函数是伪随机函数，所以这个循环大小在期望情况下是\(O(\sqrt n)\)的
\(\text{Pollard's_Rho}\)算法要找到一个\(p\in[2,n-2],p|n\)
考虑用\(\text{Floyd}\)算法找环，即定义两个变量，一个每次走一步，一个每次走两步，设他们为\(x,y\)
当\(x=y\)时，显然出现循环
由于\(p|n\)，所以当\(x \equiv y \pmod p\)时，实际上是\(G_p(x)\)这个函数出现了循环
所以在找\(G_n(x)\)的循环时，可以通过求出\(\gcd(x-y,n)\)判断是否出现\(G_p(x)\)的循环
注意如果出现\(x=y\)情况已经找到\(n\)的循环，说明这个我们这次构造的这个函数找不到\(p\)的循环
由于\(\forall n\notin prime,\exist p\in[1,\sqrt n],p|n\)
所以期望情况下每\(\sqrt p\leq \sqrt {\sqrt n}=n^{\frac{1}{4}}\)的长度会出现循环
算法复杂度是期望\(O(n^{\frac{1}{4}}\log n)\)的
那么写出\(\text{Pollard's_Rho}\)算法的代码
ll Pollards_Rho(ll n){
ll c=rand(); // 随机生成一个函数
ll x=rand(),y=x,d=1; // 随机一个初始值
while(d==1){
x=(qmul(x,x)+c)%n;
y=(qmul(y,y)+c)%n;
y=(qmul(y,y)+c)%n;
d=gcd(n,abs(x-y));
}
if(d==n) return Pollards_Rho(n); // 构造失败
else return d; // 找到了p
}
不断调用即可完成对于n的质因数分解
对于质因数分解，更高级的算法可以参考LOJ-6466
莫比乌斯函数
设\(n=\prod_1^m p_i^{c_i}\)，其中\(c_i>0,p_i\)为质数
则莫比乌斯函数 \(\mu(n)=\left\{\begin{aligned}1 && n=1\\ (-1)^m && \nexists c_i>1 \\ 0 && \exists c_i>1\end{aligned}\right.\)
狄利克雷卷积
对于数列\(F,G\)，他们的狄利克雷卷积(下简称\(F\oplus G\))为
莫比乌斯反演
设元函数\(E_i=1\)
\(G=F\oplus E\)，即\(G_i=\sum_{d|i}F_d\)
由\(G\)反解\(F\)得到莫比乌斯反演\(F_i=\sum_{d|i}\mu(d) G_{\frac{i}{d}}\)
积性函数
积性函数的定义，对于一个定义在\(\Z\)上的函数\(F(n)\)，若满足
\(F(1)=1,\forall (u,v)=1,F(u)\cdot F(v)=F(u\cdot v)\)，则\(F(u)\)是一个积性函数
完全积性函数对于任意的\(u,v\)对满足上述性质
常见的积性函数有
1.元函数\(e(n)=[n=1]\)
2.因数个数函数\(d(n)\)
3.欧拉函数\(\varphi(n)\)
4.莫比乌斯系数\(\mu(n)\)
5.约数和函数\(\sigma(n)\)
推论：任意两个积性函数的狄利克雷函数卷积 仍然是积性函数
线性筛筛法求解积性函数
把积性函数\(F(n)\)表示为
\(F(n)=\left\{\begin{aligned} 1 && n=1 \\ G(n) && n=p_i^t \\ \prod G(p_i^{c_i}) && n=\prod p_i^{c_i}\end{aligned}\right.\)
如果能在较短的时间内求得\(G(p_i^t)\)，则可以用线性筛法求解积性函数\(F(n)\)的前\(n\)项
一个最简单的应用: 在\(O(n)\)时间求解\(id^z(n)=n^z\)
显然，\(id^z(n)\)是一个完全积性函数，且直接求复杂度为\(O(n\log z)\)
因为是完全积性函数，所以只需要求解\(id^z(p_i)\)，这一部分复杂度为\(O(\pi(n)\cdot \log z)=O(n)\)
线性筛法的复杂度为\(O(n)\)，因此总复杂度也为\(O(n)\)
(这就是传说中的魔法吗！！)
一个简单的应用：求解\(\mu(n)\)
鉴于\(\mu(n)\)的特殊性，也只需要求出\(\mu(p_i)\)
写出的代码大致是这样的
int pri[N],notpri[N],pc,mu[N];
void Sieve_Mobius(int n){
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) {
if(!notpri[i]) pri[++pc]=i,mu[i]=1;
for(int j=1;j<=pc && 1ll*i*pri[j]<=n;++j) {
notpri[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0) {
mu[i*pri[j]]=0;
break;
}
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
}
真-应用: 大型模板
int CalcG(int n);
int prime[N],primecnt,notprime[N];
int F[N],D[N];
// F存储函数值
// D存储质因数出现的幂次积
void Sieve_Multiplicative_Function(int n){
F[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i){
if(!notprime[i]) {
prime[++primecnt]=i;
for(ll j=i;j<=n;j*=i) F[j]=CalcG(j),D[j]=j;
// 计算F(p_i^t)
}
for(int j=1;j<=primecnt && 1ll*i*prime[j]<=n;++j) {
notprime[i*prime[j]]=1;
int k=i*prime[j];
if(i%prime[j]==0) {
D[k]=D[i] * prime[j];
F[k]=F[i/D[i]] * F[D[k]];
break;
}
D[k]=prime[j];
F[k]=F[i] * F[prime[j]];
}
}
}
杜教筛
用于求解 较大范围 且 可以构造出一些性质的积性函数 前缀和
Min25筛
用于求 较大范围 且 使用范围更广 的积性函数前缀和 ， 但在效率上不敌杜教筛
