联合省选 2020 A」组合数问题
「联合省选 2020 A」组合数问题
题意：
求\(\begin{aligned}\sum _{k=0}^nf(k)\cdot x^k\cdot C(n,k)\end{aligned}\)
显然要对于\(f(k)\)的每一项考虑，第\(i\)项的贡献
\(a_i\begin{aligned}\sum _{k=0}^nk^i\cdot x^k\cdot C(n,k)\end{aligned}\)
通用的\(O(m^2)\)
后面的这个式子，考虑它的组合意义，假设当前有\(n\)个格子，每个格子被染了\([0,x]\)的颜色
\(x^k\cdot C(n,k)\)即枚举有\(k\)个格子涂了\([1,x]\)的颜色，剩下涂了\(0\)的颜色
\(k^i\)的组合意义即可重复地选了\(i\)次，每次选出的都是在\([1,x]\)颜色的格子的方案数
那么问题可以转化为强制每一次被访问的格子都是\([1,x]\)，其他的格子随便涂\([0,x]\)
问题在于每次被访问的格子会重复，于是可以想到一个简单的转化，求出\(i\)次访问了\(j\)不同位置的方案数
即斯特林数\(S(i,j)\)，可以得到的是
\(\begin{aligned}\sum _{k=0}^nk^i\cdot x^k\cdot C(n,k)=\sum_{j=0}^iS(i,j)\cdot \frac{n!}{(n-j)!}\cdot x^j(x+1)^{n-j}\end{aligned}\)
实际上可以在\(O(m^2)\)递推斯特林数时就把\(\frac{n!}{(n-j)!}\)加入权值，\(x^j(x+1)^{n-j}\)可以预处理出来
因此总复杂度就是\(O(m^2)\)
#include<cstdio>
long long i,j,n,m,P,x,y,F[1010],Pow[1010],r,ans;
int qpow(int x,int k) {
for(r=1;k;k>>=1,x=1ll*x*x%P) if(k&1) r=r*x%P;
return r;
}
int main(){
freopen("problem.in","r",stdin),freopen("problem.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&x,&P,&m,&y),F[0]=1,ans=qpow(x+1,n)*y%P;
for(int i=0;i<=m;++i) Pow[i]=1ll*qpow(x,i)*qpow(x+1,n-i)%P;
for(i=1;i<=m;++i) {
long long res=0;
for(j=i,scanf("%lld",&y);~j;--j) {
F[j]=(F[j]*j+(j?F[j-1]*(n-j+1):0))%P; // 类似斯特林数的递推
res=(res+F[j]*Pow[j])%P;
}
ans=(ans+res*y)%P;
}
printf("%lld",ans);
}
特殊的\(O(m\log^2 m)\)
(注意以下仅限于口胡!)
假设可以把\(f(k)\)转化为下降幂多项式，依然枚举每一项考虑，那么每次要求的就是
\(\begin{aligned}\sum _{k=0}^nk^{\underline i}\cdot x^k\cdot C(n,k)=i!\sum _{k=0}^nC(k,i)\cdot x^k\cdot C(n,k)\end{aligned}\)
依然考虑组合意义
\(x^k\cdot C(n,k)\)即枚举有\(k\)个格子涂了\([1,x]\)的颜色，剩下涂了\(0\)的颜色
\(C(k,i)\)的组合意义不可重复地选了\(i\)次，每次选出的都是在\([1,x]\)颜色的格子的方案数
那么问题可以转化为强制每一次被访问的格子都是\([1,x]\)，其他的格子随便涂\([0,x]\)
\(\begin{aligned}\sum _{k=0}^nk^{\underline i}\cdot x^k\cdot C(n,k)=i!\cdot C(n,i)\cdot x^i\cdot (x+1)^{n-i}\end{aligned}\)
(式子应该没有问题，但是下面都是口胡)
求解下降幂多项式需要多点求值，还要求很多逆元
然而对于非质数的\(P\)，我们求不出\(i!\)的逆元
(比较智障的搞法就是每次乘法都存下\(P\)的每个质因数个数，这样，做乘法的复杂度是\(\log P\)，但是不知道最后做出的答案是不是能保证因数个数\(\ge 0\))
对于\(P\)为质数的情况，用\(\text{MTT}\)做多项式转下降幂多项式的复杂度是\(O(m\log^2 m)\)
(听说用转置原理优化的多点求值已经可以跑\(10^6\)啦?)
