「雅礼集训 2018 Day4」Magic(分治NTT)

「雅礼集训 2018 Day4」Magic(分治NTT)

题目的条件简直无法计算恰好为\(k\)的方案数，所以考虑计算\(\ge k\)的方案数

所以可以强制有\(k\)个相邻位置相同，但是不确定相同的是那些颜色

对每个颜色\(a_i\)考虑，设把\(a_i\)这个颜色分成了\(b_i\)个联通块(即强制了\(a_i-b_i\)个相邻位置相同)

那方案数就是\(C(a_i-1,b_i-1)\)(是一个简单的插板问题)

得到每种颜色的联通块个数\(b_i\)，那么这些联通块之间排列的方案数就是\(\frac{(\sum b_i)!}{b_i!}\)

容易得到\(a_i\rightarrow b_i\)的方案数，直接合并\(b_i\)的方案数，是一个背包问题，所以考虑用分治\(NTT\)快速合并

那么得到了\(\sum b_i=n-k\)的所有方案，复杂度\(O(n\log n\log m)\)

最后的容斥比较明显的是一个二项式反演的形式，可以\(O(n)\)计算

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)
#define pb push_back
#define Mod1(x) ((x>=P)&&(x-=P))
#define Mod2(x) ((x<0)&&(x+=P))

char IO;
int rd(){
	int s=0;
	while(!isdigit(IO=getchar()));
	do s=(s<<1)+(s<<3)+(IO^'0');
	while(isdigit(IO=getchar()));
	return s;
}

const int N=1<<17,P=998244353;

int n,m,k;
int Inv[N+1],Fac[N+1],FInv[N+1];
ll C(int n,int m){ return n<0||m<0||n<m? 0 : 1ll*Fac[n]*FInv[m]%P*FInv[n-m]%P; }
ll qpow(ll x,ll k=P-2){
	ll res=1;
	for(;k;k>>=1,x=x*x%P) if(k&1) res=res*x%P;
	return res;
}
typedef vector <int> Poly;
int w[N|10],rev[N];
void Init(){
	Inv[0]=Inv[1]=Fac[0]=Fac[1]=FInv[0]=FInv[1]=1;
	rep(i,2,N){
		Fac[i]=1ll*Fac[i-1]*i%P;
		Inv[i]=1ll*(P-P/i)*Inv[P%i]%P;
		FInv[i]=1ll*FInv[i-1]*Inv[i]%P;
	}
	w[N>>1]=1;
	ll t=qpow(3,(P-1)/N);
	rep(i,(N>>1)+1,N-1) w[i]=w[i-1]*t%P;
	drep(i,(N>>1)-1,1) w[i]=w[i<<1];
}

int Init(int n){
	int R=1,cc=-1;
	while(R<n) R<<=1,cc++;
	rep(i,1,R-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<cc);
	return R;
}
void NTT(int n,Poly &a,int f){
	if((int)a.size()<n) a.resize(n);
	rep(i,1,n-1) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1){
		int *e=w+i;
		for(int l=0;l<n;l+=i*2){
			for(int j=l;j<l+i;++j) {
				int t=1ll*a[j+i]*e[j-l]%P;
				a[j+i]=a[j]-t; Mod2(a[j+i]);
				a[j]+=t; Mod1(a[j]);
			}
		}
	}
	if(f==-1){
		reverse(a.begin()+1,a.end());
		rep(i,0,n-1) a[i]=1ll*a[i]*Inv[n]%P;
	}
}

Poly operator * (Poly a,Poly b){
	int n=a.size()+b.size()-1,R=Init(n);
	NTT(R,a,1),NTT(R,b,1);
	rep(i,0,R-1) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;
	NTT(R,a,-1),a.resize(n);
	return a;
}

Poly Solve(int l,int r){
	if(l==r){
		int x=rd();
		Poly F(x+1);
		rep(y,1,x) F[y]=C(x-1,y-1)*FInv[y]%P;
		return F;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	return Solve(l,mid)*Solve(mid+1,r);
}

int main(){
	freopen("magic.in","r",stdin),freopen("magic.out","w",stdout);
	Init(),n=rd(),m=rd(),k=rd();
	Poly dp=Solve(1,n);
	rep(i,n,m) dp[i]=1ll*dp[i]*Fac[i]%P;
	int i=m-k;
	rep(j,n,i-1) dp[i]=(dp[i]+(((i-j)&1)?-1:1)*dp[j]*C(m-j,m-i)%P+P)%P;
	ll ans=(dp[i]%P+P)%P;
	printf("%lld\n",ans);
}