下降幂多项式
下降幂多项式
下降幂的定义
下降幂\(\text{Falling Factorial}\)
下降幂多项式\(\text{Falling Factorial Polynomial}\)下面简称\(\text{FFP}\)
\(x\)的\(n\)阶下降幂\(x^{\underline n}=\prod_0^{n-1}(x-i) = \frac{x!}{(x-n)!}\)
一个下降幂多项式\(F(x)=\sum a_ix^{\underline i}\)
快速求解\(x^{\underline n}\)的展开形式
\(x^{\underline{n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)\)
考虑倍增求解，假设已知\(F(x)=x^{\underline{n}}\)
要求\(G(x)=x^{\underline{2n}}\)
显然\(G(x)=F(x)F(x-n)\)
而\(\begin{aligned} F(x-n)=\sum_{i=0}^{n} [x^i]F(x) \cdot (x-n)^i\end{aligned}\)
用一次卷积处理这个二项展开即可
复杂度为\(O(n\log n)\)
FFP与其点值的\(\text{EGF}\)
点值的\(\text{EGF}\)为\(\begin{aligned} EGF(F(x))=\sum_0^{\infty}\frac{F(i)x^i }{i!}\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\sum_{j=0}^{n} \frac{i!}{(i-j)!}\cdot F_j\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{\infty}x^i \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{(i-j)!}\cdot F_j\end{aligned}\)
换一下顺序
\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{n} F_i \sum_{j=i}^{\infty}\frac{1}{(j-i)!} x^j\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{n} F_i \cdot x^i \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!} x^j\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{n} F_i \cdot x^i e^x\end{aligned}\)
那么直接和\(e^x\)卷积就可以得到\(F(x)\)的\(\text{EGF}\)
Tips: \(e^x\)直接带入展开式\(\begin{aligned} e^{ax}=\sum_0^{\infty}\frac{(ax)^i}{i!} \end {aligned}\)
如果要从\(\text{EGF}\)得到\(F(x)\)
\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{n} F_i \cdot x^ie^x\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} F_i=\frac{EGF(F(x))}{x^ie^x} \end{aligned}\)
那么就直接卷上\(e^{-x}\)就可以了
即可以通过简单卷积完成\(\text{FFP} \Longleftrightarrow \text{EGF}\)的转化
FFP卷积
求出\(\text{EGF}\)，然后点值对应相乘(注意乘完之后要补上一个\(i!\))，最后再反求\(F(x)\)
Tips: 下面的知识恐怕需要先学多点求值/快速插值
多项式转FFP
带入\(0,\cdots n-1\)，多点求值得到\(\text{FFP}\)点值的\(EGF\)，然后求得到\(\text{FFP}\)
FFP转多项式
求出\(F(x)\)的\(EGF\)，然后带入前\(n\)项的值，快速插值回来即可
由于\(x_i\)是连续的，所以不需要再多点求值求解\(\prod\frac{1}{x_i-x_j}\)，可以直接阶乘得到
关于上升幂
\(x^{\overline n}=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)\)
容易发现的是\(x^{\overline n}=(-x)(-((-x)-1))(-((-x)-2))\cdots (-(-x-(n-1)))=(-1)^n (-x)^{\underline{n}}\)
所以上升幂多项式与普通多项式的转化 可以认为是上面的点值变成了\(0,-1,\cdots ,-(n-1)\)，奇数项系数取反
