Burnside & Polya
Burnside & Polya
前置知识
首先，要引入一些群论的概念，但是也不需要太懂
一个集合\(S\)，我们定义两种相同，即表观相同和本质相同
称对于集合的一种操作为置换
每一个对于集合的置换都是一种广义的对称，关于操作\(x\)对称的两个集合本质相同
即对于置换\(S\)得到\(S'\)，则\(S\),\(S'\)关于这个置换对称，同时\(S,S'\)本质相同
群就是一些集合和一些操作(称作置换)的组合
对于一个\(n\)元序列\(p_i\)，我们认为它是我们的集合，我们定义序列的对称是可以通过首尾相接乘环之后相同
如有\(S=\{2,1,1\},S'=\{1,2,1\}\)
我们可以说\(S,S'\)向右移动1个位置这个置换对称
我们暂且定义这个操作为\(+1\)，即定义置换的操作符号为\(+\)
而要表示一个群，则所有置换必须满足的条件是
封闭性：任何置换的叠加所产生的置换也在原先的置换集合里
结合律：即对于三个置换\(a,b,c,(a+b)+c=a+(b+c)\)
单位元：存在一个置换\(e\)对于其他所有的置换满足\(e+a=a+e=a\)
逆元：即对于每个置换\(a\)，存在置换\(b\)使得置换\(a+b=e\)
对于上面提到的环序列问题
置换集合是\(\{+0,+1,\cdots,+n-1\}\)，两个置换叠加的结果是要对于\(n\)取模的，所以显然满足上面的性质
Burnside
对于一个群\(G\)
其中所有本质不同的集合个数可以表示为
显然也等于
如对于\(\{1,1,2\}\)，三种置换之后得到\(\{1,1,2\},\{1,2,1\},\{2,1,1\}\)
感性证明如下：
考虑每一种本质不同的集合\(S\)
对于\(S\)执行每一种置换\(x\)，会产生若干个表观相同的置换集合
这些集合的总大小就是总的置换个数
对于每一个操作集合\(Set\)对应的表观元素\(T\),\(Set\)本身是封闭的
存在\(|Set|\)种置换可以从\(S\)得到\(T\)
同时也存在\(|Set|\)种置换满足\(T\)置换之后表观不变
因为可以先对\(T\)执行一个\(Set\)中置换的逆置换，然后再分别叠加以置换集合中所有的置换
根据群的封闭性，叠加之后的置换集合等价于原先的置换集合，而原先的置换集合里有\(|Set|\)个会得到\(T\)
所以一个本质不同的集合被分散到这些集合里，最后一共还是被算了置换个数次
Tips:
这里一定要注意的是，即便没有元素对于置换\(x\)对称，也必须要算进总的置换个数里
举个例子：
如果有\(2\)个\(0\)和\(2\)个\(1\)组成的环序列，手玩一下知道方案数是\(2\)
实际的置换是\(+0,+1,+2,+3\)
对称的个数是\(6,0,2,0\)
实际上把这个问题扩展到\(n\)个，就会发现奇数的置换都是不存在对称的
(甚至只保留偶数的置换同样满足群的性质),但是也必须计算\(2n\)个置换,因为环序列的置换就是\(2n\)个，不会因为具体情况不存在而改变
Polya 定理
\(\text{Polya}\)定理，事实上就是对于每个置换，归纳了一下快速求出表观不变的元素个数的方法
也就是对于一个类似环序列的置换，置换之后表观不变，那么集合元素之间就存在一些相等关系，这些关系把集合元素之间的分成若干个循环，循环内的集合元素相同，通过求循环个数来快速求表观不变的元素个数
如对于环序列的问题，集合\(S\),置换\(+x\)的循环个数就是\(\gcd(i,|S|)\)
实际上，具体的问题直接在\(\text{Burnside}\)引理的基础上自己归纳总结快速求的方法是最好的
