求导/泰勒展开
求导/泰勒展开
前言:求导是为泰勒展开铺路的。。
求导
\(f'(x)\)为\(f(x)\)的导数，即\(f(x)\)在\(x\)上的变化率
\(\begin{aligned} f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\end{aligned}\)
\(f(x)\)在\(x\)上可导的前提是\(f(x)\)在\(x\)上是连续的
一种不完善的判定条件是\(\begin{aligned} \lim_{\Delta x\rightarrow 0^+} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+} \frac{f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}\end{aligned}\)
求导法则
\(1.(x^n)'=n \cdot x^{n-1}\)\((n\in \R\),但是要注意定义域)
\(2.(\sin x)'=\cos x,(\cos x)'=-\sin x\)
\(3.(e^x)'=e^x\)
\(4.(a^x)'=\ln a\cdot a^x\)
\(5.(\ln x)'=\frac{1}{x}\)
\(6.\log_a x=\frac{1}{x\ln a}\)
\(7.(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
\(8.\displaystyle (\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)
\(9.(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)
如\(f(x)=\ln x,g(x)=ax-1\)
\(f'(x)=\frac{1}{x},f'(g(x))=\frac{1}{ax-1}\)
\(g'(x)=a\)
\((\ln (ax-1))'=\frac{a}{ax-1}\)
$$ \ $$
泰勒 Taylor 展开
\(\text{Taylor}\)展开是用函数\(f(x)\)在某个点\(x_0\)上不断求导之后的函数值表示出函数本身
从而将任何一个函数表示成(可能不是有穷的)多项式函数形式
\(\begin{aligned} f(x)=\sum _{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\end{aligned}\)
其中\(f^{(i)}\)表示\(f\)的\(i\)阶导数
当\(x_0=0\)时，这个展开被称为麦克劳林 \(\text{Maclaurin}\)展开，即
\(\begin{aligned} f(x)=\sum _{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i\end{aligned}\)
Taylor 展开的证明
为了便于描述，下面直接对于\(\text{Maclaurin}\) 展开叙述 ， \(\text{Taylor}\)展开相当于平移了\(x_0\)
不妨设\(f(x)\)展开后的多项式函数系数为\(a_i\)，即设\(\begin{aligned} f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\end{aligned}\)
不断对于\(f(x)\)求导得到下式
\(\begin{aligned} f^{(0)}(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\cdots \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} f^{(1)}(x)= a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3\cdots \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} f^{(2)}(x)= 2a_2+6a_3x^1+12a_4x^2+20a_5x^3\cdots \end{aligned}\)
\(\cdots\)
\(\begin{aligned} f^{(n)}(x)= n!a_n+\prod_{i=2}^{n+1}i\cdot a_{n+1}x^1+\prod_{i=3}^{n+2}i\cdot a_{n+2}x^2\cdots \end{aligned}\)
带入这些函数在0上的取值，得到
\(f^{(i)}(0)=i!\cdot a_i\)
因此\(\begin{aligned} f(x)=a_ix^i=\sum _{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i\end{aligned}\)
常见的Taylor展开
如果你是数学生
\(\displaystyle e^x= 1+x+\frac{x^2}{2}+\ldots+ \frac{x^n}{n!}+\theta\frac{x^{n+1}}{(n+1)!},\theta\in (0,1)\)
所以实际上是
\(\left\{\begin{aligned}e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}+\ldots+\frac{x^n}{n!}&& 2\not |n\text{ or }\ge 0\\ e^x\leq 1+x+\frac{x^2}{2}+\ldots+\frac{x^n}{n!}&& \text{otherwise}\end{aligned}\right.\)
\(\ln x\leq x-1\)
诸如此类，常用于\(e^x,\ln x\)的放缩处理
如果你是OIer/ACMer
带入\(f(x)=e^x,x_0=0\)，得到
\(\begin{aligned} f(x)=e^x=\sum _{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\end{aligned}\)
类似的
\(\displaystyle [x^n]e^{ax}=\frac{a^n}{n!}\)
还有很多都可以自己代入一下，比如
\(\begin{aligned} \frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^{\infty} x^i\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} -\ln (1-x)=\ln \frac{1}{1-x}=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i}\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\sin x =\sum_{i=1}(-1)^{i+1}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\cos x=\sum_{i=0}(-1)^{i}\frac{x^{2i}}{(2i)!}\end{aligned}\)
应用:牛顿迭代法
