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随笔分类 -  多项式/矩阵/生成函数

摘要:CF1540E - Tasty Dishes 题目大意 给定序列a_i,保证|a_i|\leq i 以及一个变换: \(\displaystyle a_i\leftarrow \sum_{j\in S_i} max\{a_j,0\}\cdot j+\left\{\begin{aligned} 阅读全文
posted @ 2021-09-29 08:13 chasedeath 阅读(164) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:矩阵的特征值和特征向量 定义 对于n阶方阵A,若存在非零列向量x和数\lambda满足Ax=\lambda x,则称\lambdax为一组对应的特征值和特征向量 在确定了特征值之后,可以得到对应x的无穷多个解 求解特征值和特征向量: 容易发现,\lambda是一 阅读全文
posted @ 2021-09-28 18:46 chasedeath 阅读(2069) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:CF1392I - Kevin and Grid 题目大意 给定一张网格图,每个点上(i,j)写着a_i+b_j 对于一个给定阈值x,将图分为a_i+b_j<xa_i+b_j\ge x两组连通块 定义一个能够连通到网格图边界的连通块的价值为1,否则为2 有q次查询,每次给定 阅读全文
posted @ 2021-05-09 21:03 chasedeath 阅读(91) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:「TJOI / HEOI2016」求和 题目大意: 求\displaystyle \sum_^n\sum_i \begini\ j\end2j\cdot j! 由于第二类斯特林数的生成函数S_m(x)=\cfrac{1}{m!}(e^x-1)^m 所以求的东西就是$\displaystyle 阅读全文
posted @ 2021-04-08 20:27 chasedeath 阅读(114) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:%EI 笔记: 一类特殊的线性求和 话不多说先%%%%%EI 对于给定的常数列a_i,i\in[0,n] 对于一些可以肉眼描述特征的多项式F(x),以及一类特殊的G(x)(常见的G(x)e^x,a_i=i!) 具体的,能够对于F(x)列出一条较为简单的微分方程,如$F(x) 阅读全文
posted @ 2021-04-08 18:59 chasedeath 阅读(272) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:Luogu P7445「EZEC-7」线段树 显然一个点是否被\text仅取决于所有完全包含它的操作区间权值之和 那么可以考虑对于每个节点计算概率,然后累加 反向计算一个节点不被\text的概率,即权值之和为0的概率 而每个节点有自己被覆盖的概率,即$p_i=\cfrac{l\cdot 阅读全文
posted @ 2021-04-05 18:15 chasedeath 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:幂前缀和的生成函数 问题描述: 对于给定的大数m,求\displaystyle k\in[1,n],F_k=\sum _m ik F_k=\sum _{i=1}^m i^k,每一项的组合意义即:为k个元素每个染上i种颜色中的一个 下面是用斯特林数的推导 带入第二类斯特林数的组 阅读全文
posted @ 2021-04-02 14:19 chasedeath 阅读(180) 评论(0) 推荐(2) 编辑
摘要:「ZJOI2018」树 前言 置换同构计数真是令人头大,感觉依然不是特别懂 \ 分析与初步构想 设按照题意生成的n个节点有标号有根树族为\mathcal_n,对于某种树形T的生成方案数为c(T) 则答案显然是$\cfrac{\sum _{T\in \mathcal_n} c 阅读全文
posted @ 2021-03-29 15:27 chasedeath 阅读(167) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:[NOI Online #3 提高组] 优秀子序列 这个题怎么不直接取名 集合幂级数\text呢 优秀的子序列中任意两个元素01位无交,这是一个标准的子集卷积形式 \varphi的计算显然与a_i的卷积独立,可以线性筛/埃氏筛 暴力 可以暴力3^{18}过,枚举时为了避免重复可以通过 阅读全文
posted @ 2021-03-28 12:00 chasedeath 阅读(84) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:[NOI Online 2021 提高组] 愤怒的小N 暴力 倍增维护[x,x+2^d)内部所有b的权值和 以及a的,用多项式表示 具体的,维护两个多项式F_0(x),F_1(x),每次倍增的转移如下 F_0(x)\leftarrow F_0(x)+F_1(x+d) \(F_ 阅读全文
posted @ 2021-03-27 15:19 chasedeath 阅读(183) 评论(5) 推荐(0) 编辑
摘要:「2020-2021 集训队作业」Yet Another Permutation Problem 题目大意 对于一个初始为1,2,\ldots n的排列,每次操作为选择一个数放到开头或者结尾,求k次操作能够生成的排列数 对于k=0,1,\ldots ,n-1求解 \ 模型转化 阅读全文
posted @ 2021-03-26 11:19 chasedeath 阅读(395) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:无标号有根树/无根树 计数 当然是从有根树开始啦 树计数容易想到递归进行,设n个节点有根树的\textF(x) 我们考虑F(x)\(作为新根节点的子树的情况,这是一个可置换的背包问题,被称为\)\text变换 不妨对于F(x)的每一项考虑,我们从F_k这么多种类的数中选择一 阅读全文
posted @ 2021-03-23 21:36 chasedeath 阅读(617) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:有标号二分图计数 求 n 个点的有标号二分图数目 容易想到一个会重复的计算方法:暴力把图剖成两个集合,然后集合间随意连边 G_n=\displaystyle \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}2^{i(n-i)} 而如果一个二分图包含t个连通块,那么在G中它会 阅读全文
posted @ 2021-03-22 21:09 chasedeath 阅读(176) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:有标号荒漠计数 考虑随意选择一个点为根,则仙人掌的\text考虑用以下方式递归生成 令树边为二元环,则一个点周围的点都是都是与它直接相连的环 断开这个点,对于周围断开的环,环上每个点下面认为是一个仙人掌,设某个环断开之后的大小为cc=1时,不需要考虑排列重复,即为F(x) 当$c 阅读全文
posted @ 2021-03-22 21:07 chasedeath 阅读(62) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:AtCoder Regular Contest 115 #D Solution1 考虑用\text\(来理解这个式子,容易发现\)\text之后求积的式子,满足 对于任意(u_i,v_i) 如果u_i,v_i中有一者被选择,答案为0,否则权值\times 2 那么显然对于一个连通块, 阅读全文
posted @ 2021-03-22 18:17 chasedeath 阅读(69) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:有标号DAG计数 题目大意:求n个点有标号弱连通\text数量 如果你做过类似 「CEOI2019」游乐园 这样常见的\text计数问题 就会对于统计\text数量的这个容斥方法十分熟悉 枚举图分层,设当前已经确定的层中点集为S,下一层点集为T \(dp_{S+T}\left 阅读全文
posted @ 2021-03-22 18:16 chasedeath 阅读(119) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:「ZJOI2020」抽卡 Sub1: 从n张卡中选取钦定的m张的期望次数 令f_m表示期望次数,显然m>0,f_m=\frac{(n-m)f_m+mf_}+1f_0=0,f_m=f_+\frac\displaystyle f_m=\sum_^m \frac Minma 阅读全文
posted @ 2021-03-14 21:09 chasedeath 阅读(129) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:CF Round#698 Div1. Nezzar and Chocolate Bars 前言 这就是大道至简吗。。 为什么和某ZJOI开关一样,到最后就是个背包。。 题目大意: 给定n,K和一些棍子长度为l_i(i\in [1,n])(实数!) 每次随机选择一根棍子,概率与l_i成正比 阅读全文
posted @ 2021-03-14 11:46 chasedeath 阅读(75) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:「CEOI2020」星际迷航 首先是最简单的判断是否必胜的dp转移\displaystyle dp_u=\bigcup_{v\in son_u} \text dp_ 考虑第i+1层对于第i层的贡献,实际上只和i+1层有多少个点dp值为0/1有关 下面称dp值为0/1的点为 阅读全文
posted @ 2021-02-27 11:45 chasedeath 阅读(205) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:「USACO 2020.12 Platinum」Spaceship 看到题目第一个想到的是:按照路径长度可以确定按钮次数和路径次数 然而路径长度是2^k级别的。。 下文认为n,q,k同阶 既然无法考虑长度,那么就直接在dp时将路径作为状态压入 令dp_{i,s,t}表示前面i个按 阅读全文
posted @ 2021-02-22 11:11 chasedeath 阅读(142) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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