随笔分类 - 学习笔记
摘要：Probabilistic Method 符号约定 均值：\(\mu=\mathbb{E}[X]\) 方差：\(\sigma=\text{Var}[X]\). 斜方差：\(\text{Cov}(X,Y)\). 引入 对于 0/1 随机变量 \(X_i\)（也对应着一个事件是否发生），令 \(X=\s
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摘要：优雅的万能欧几里得 取自 CTT 2022 Day4 T3 （或许是2021?） 问题描述 考虑用以下方法描述一个万能欧几里得问题： 有一条端点为 \((0,0)\rightarrow (A,B)\) 的有向线段 \(OP\)，我们认为其两端都是空的。 其中 \(A,B\) 是自然数，且 \(\gc
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摘要：矩阵的特征值和特征向量 定义 对于$n$阶方阵$A$，若存在非零列向量$x$和数$\lambda$满足$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$和$x$为一组对应的特征值和特征向量 在确定了特征值之后，可以得到对应$x$的无穷多个解 求解特征值和特征向量： 容易发现，$\lambda$是一
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摘要：dp多维状态的优化 面对一个多维dp问题，根据维度之间联系的紧密程度，我们可以选择 1.维度之间紧密相关，只能直接枚举 2.维度之间完全无关，只是贡献通过某种形式相加，可以割裂为两个dp处理 3.介于1,2之间，不能割裂计算，但是可以将转移过程割裂为若干步来优化 e.g.1: 选区间1 问题描述 对
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摘要：带花树笔记 前言：名字的由来 树：增广交替树，即从$u$开始，由匹配边和增广边交替构成的树 对于二分图，增广过程中忽略偶环，因此就是一棵树 花：一般图存在奇环，在扩展增广树的过程中遇到奇环，就将奇环叫做花 与匈牙利算法的比较 算法的基本框架与匈牙利相同： 依次选取每个点作为根$rt$，找到一条从根出
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摘要：[水]整数拆分积 这是一个常规~~（小学奥数）~~结论 问题：对于$n(n\ge 3)$，要求构造拆分$n=\sum_^m a_i$，最大化$\prod a_i$ 最优情况下，满足 1.\(n\mod 3=0\)，\(a_i=3\) 2.\(n\mod 3=2\)，\(i<m,a_i=3 ; a_m
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摘要：%EI 笔记： 一类特殊的线性求和 话不多说先%%%%%EI 对于给定的常数列$a_i,i\in[0,n]$ 对于一些可以肉眼描述特征的多项式$F(x)$，以及一类特殊的$G(x)$（常见的$G(x)$为$e^x,a_i=i!$） 具体的，能够对于$F(x)$列出一条较为简单的微分方程，如$F(x)
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摘要：幂前缀和的生成函数 问题描述： 对于给定的大数$m$，求$\displaystyle k\in[1,n],F_k=\sum _m ik$ \(F_k=\sum _{i=1}^m i^k\)，每一项的组合意义即：为$k$个元素每个染上$i$种颜色中的一个 下面是用斯特林数的推导 带入第二类斯特林数的组
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摘要：无向图的 三元环 - 四元环 计数 问题描述： 给定一个$n$个点$m$条边的无向图，统计其中三元环/四元环的个数 三元环 考虑枚举一条边$(u,v)$，为了避免重复我们可能令$u<v$ 然后暴力枚举求出$u,v$两个点出边的交点个数 具体的，先对于$u$的出点打标记，然后查询$v$的出点中被标记的
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摘要：k短路 好像是一个比较简单的东西 对于 正权有向图，\(\displaystyle G=(V,E),V=\{V_i\}_{i=1}^nE=\{(u_i,v_i,w_i)\}_{i=1}^m\) 求$s$到$t$的前$k$短路 考虑建立反图$G'=(V,E')\(，容易\)\text$求得$t$的单源
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摘要：Nimber系列略学习笔记 前言 \(\text{Nim+Number=Nimber}\) 基于我们熟悉的博弈问题$\text\(问题，我们定义了多\)\text\(问题的和，即\)\text$和 我们知道$\text\(和就是异或运算，为了构成一个更完整的\)\text$域，又引入一种新的运算 即
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摘要：拉格朗日反演 (Lagrange Inversion) 复合逆 对于$F(G(x))=x (\Leftrightarrow G(F(x))=x)$，则称$F(x)$与$G(x)\(互为复合逆，下文中记为\)\hat F(x)$ 存在复合逆的条件为$[x0]F(x)=0,[x1]F(x)\ne 0$
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摘要：平面图的欧拉定理 平面图 平面图是一张无向图，顾名思义 存在一种在平面上画点的方法，使得所有的边不会相交 欧拉定理 对于一张平面图$G=(V,E)$，$F$为平面图上的边把平面划分的区域个数（注意统计最外层的无限区域），则 一张平面图是连通的 \(\Longleftrightarrow\) \(|V
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摘要：Montgomery Reduction 算法流程与实际实现 下面默认对于模数$m$取模，由于这篇文章的重点是实现~~(其实就是我自己存一下板子)~~，因此没有证明 使用注意： Montgomery Reduction 相较于 Barret Reduction来说，不需要使用__int128 但是有
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摘要：矩阵行列式 对于一个$n$行$n$列的矩阵$A$，有矩阵的行列式(常用$\det(A),|A|$)表示 行列式的意义 如果将矩阵的每一行视为一个$n$维向量，则$n$阶行列式的意义可以看做是: 有向长度/面积/体积在$n$为空间下的扩展 具体的例子 $n=1$时，\(|A|=A_{1,1}\)，即有
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摘要：Stirling数小记 定义/组合意义 第一类斯特林数：$\beginn\ m\end$表示$n$个不同元素分为$m$个圆排列的方案数 有标号的第一类斯特林数$s(n,m)=(-1)^\beginn\ m\end$ 第二类斯特林数：$\beginn\ m\end$表示$n$个不同元素分为$m$个集合
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摘要：集合幂级数的$\ln,\exp$ 起始：求联通子图个数 令$F(x)$为联通的生成子图个数的形式幂级数，可以简单求出$G(x)$为生成子图个数的形式幂级数 下可能略写$F(x)$为$F$ 不连通的子图可以通过联通子图做集合并运算得到，即构造卷积 \(\begin{aligned} F\times G
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摘要：最大流/最小割树/等价流树 学习笔记 最小割树 \(\text{Gomory-Hu Tree}\) 前置 约定无向图点数为$n$，边数为$m$ 割:断开一些边，使得$s,t$两点不连通 设$\lambda(u,v)$为$u,v$的最小割权值 在非负边权的无向图上使用网络流即可求得两点间的最小割，但是
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摘要：单位根反演 最基础的用途是用于FFT中点值式转多项式 即对于$G(i)=F(\omega_ni)$，由$G(i)\(反演得到\)[xi]F(i)$的过程，称之为单位根反演 式子非常简单 \(\sum_{j=0}^{n-1}\omega_n^{ij}= \left\{\begin{aligned} \
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摘要：任意模数NTT(MTT) 模板题传送门 问题的简单描述为，求解两个值域为$\leq 109$的多项式卷积对于$P\leq 109$取模的结果 \(\ \) 问题不能直接用NTT/FFT求解，因为均超过了值域范围(double值域承受不了) \(\ \) Solution1: 3模数NTT 取几个互质
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