随笔分类 - 学习笔记
摘要:Probabilistic Method 符号约定 均值:μ=E[X] 方差:σ=Var[X]. 斜方差:Cov(X,Y). 引入 对于 0/1 随机变量 Xi(也对应着一个事件是否发生),令 \(X=\s
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摘要:优雅的万能欧几里得 取自 CTT 2022 Day4 T3 (或许是2021?) 问题描述 考虑用以下方法描述一个万能欧几里得问题: 有一条端点为 (0,0)→(A,B) 的有向线段 OP,我们认为其两端都是空的。 其中 A,B 是自然数,且 \(\gc
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摘要:矩阵的特征值和特征向量 定义 对于n阶方阵A,若存在非零列向量x和数λ满足Ax=λx,则称λ和x为一组对应的特征值和特征向量 在确定了特征值之后,可以得到对应x的无穷多个解 求解特征值和特征向量: 容易发现,λ是一
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摘要:dp多维状态的优化 面对一个多维dp问题,根据维度之间联系的紧密程度,我们可以选择 1.维度之间紧密相关,只能直接枚举 2.维度之间完全无关,只是贡献通过某种形式相加,可以割裂为两个dp处理 3.介于1,2之间,不能割裂计算,但是可以将转移过程割裂为若干步来优化 e.g.1: 选区间1 问题描述 对
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摘要:带花树笔记 前言:名字的由来 树:增广交替树,即从u开始,由匹配边和增广边交替构成的树 对于二分图,增广过程中忽略偶环,因此就是一棵树 花:一般图存在奇环,在扩展增广树的过程中遇到奇环,就将奇环叫做花 与匈牙利算法的比较 算法的基本框架与匈牙利相同: 依次选取每个点作为根rt,找到一条从根出
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摘要:[水]整数拆分积 这是一个常规~~(小学奥数)~~结论 问题:对于n(n≥3),要求构造拆分n=\sum_^m a_i,最大化∏ai 最优情况下,满足 1.n\mod 3=0,a_i=3 2.n\mod 3=2,\(i<m,a_i=3 ; a_m
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摘要:%EI 笔记: 一类特殊的线性求和 话不多说先%%%%%EI 对于给定的常数列a_i,i\in[0,n] 对于一些可以肉眼描述特征的多项式F(x),以及一类特殊的G(x)(常见的G(x)为e^x,a_i=i!) 具体的,能够对于F(x)列出一条较为简单的微分方程,如$F(x)
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摘要:幂前缀和的生成函数 问题描述: 对于给定的大数m,求\displaystyle k\in[1,n],F_k=\sum _m ik F_k=\sum _{i=1}^m i^k,每一项的组合意义即:为k个元素每个染上i种颜色中的一个 下面是用斯特林数的推导 带入第二类斯特林数的组
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摘要:无向图的 三元环 - 四元环 计数 问题描述: 给定一个n个点m条边的无向图,统计其中三元环/四元环的个数 三元环 考虑枚举一条边(u,v),为了避免重复我们可能令u<v 然后暴力枚举求出u,v两个点出边的交点个数 具体的,先对于u的出点打标记,然后查询v的出点中被标记的
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摘要:k短路 好像是一个比较简单的东西 对于 正权有向图,\displaystyle G=(V,E),V=\{V_i\}_{i=1}^nE=\{(u_i,v_i,w_i)\}_{i=1}^m 求s到t的前k短路 考虑建立反图G'=(V,E')\(,容易\)\text求得t的单源
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摘要:Nimber系列略学习笔记 前言 \text{Nim+Number=Nimber} 基于我们熟悉的博弈问题\text\(问题,我们定义了多\)\text\(问题的和,即\)\text和 我们知道\text\(和就是异或运算,为了构成一个更完整的\)\text域,又引入一种新的运算 即
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摘要:拉格朗日反演 (Lagrange Inversion) 复合逆 对于F(G(x))=x (\Leftrightarrow G(F(x))=x),则称F(x)与G(x)\(互为复合逆,下文中记为\)\hat F(x) 存在复合逆的条件为[x0]F(x)=0,[x1]F(x)\ne 0
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摘要:平面图的欧拉定理 平面图 平面图是一张无向图,顾名思义 存在一种在平面上画点的方法,使得所有的边不会相交 欧拉定理 对于一张平面图G=(V,E),F为平面图上的边把平面划分的区域个数(注意统计最外层的无限区域),则 一张平面图是连通的 \Longleftrightarrow \(|V
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摘要:Montgomery Reduction 算法流程与实际实现 下面默认对于模数m取模,由于这篇文章的重点是实现~~(其实就是我自己存一下板子)~~,因此没有证明 使用注意: Montgomery Reduction 相较于 Barret Reduction来说,不需要使用__int128 但是有
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摘要:矩阵行列式 对于一个n行n列的矩阵A,有矩阵的行列式(常用\det(A),|A|)表示 行列式的意义 如果将矩阵的每一行视为一个n维向量,则n阶行列式的意义可以看做是: 有向长度/面积/体积在n为空间下的扩展 具体的例子 n=1时,|A|=A_{1,1},即有
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摘要:Stirling数小记 定义/组合意义 第一类斯特林数:\beginn\ m\end表示n个不同元素分为m个圆排列的方案数 有标号的第一类斯特林数s(n,m)=(-1)^\beginn\ m\end 第二类斯特林数:\beginn\ m\end表示n个不同元素分为m个集合
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摘要:集合幂级数的\ln,\exp 起始:求联通子图个数 令F(x)为联通的生成子图个数的形式幂级数,可以简单求出G(x)为生成子图个数的形式幂级数 下可能略写F(x)为F 不连通的子图可以通过联通子图做集合并运算得到,即构造卷积 \(\begin{aligned} F\times G
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摘要:最大流/最小割树/等价流树 学习笔记 最小割树 \text{Gomory-Hu Tree} 前置 约定无向图点数为n,边数为m 割:断开一些边,使得s,t两点不连通 设\lambda(u,v)为u,v的最小割权值 在非负边权的无向图上使用网络流即可求得两点间的最小割,但是
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摘要:单位根反演 最基础的用途是用于FFT中点值式转多项式 即对于G(i)=F(\omega_ni),由G(i)\(反演得到\)[xi]F(i)的过程,称之为单位根反演 式子非常简单 \(\sum_{j=0}^{n-1}\omega_n^{ij}= \left\{\begin{aligned} \
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摘要:任意模数NTT(MTT) 模板题传送门 问题的简单描述为,求解两个值域为\leq 109的多项式卷积对于P\leq 109取模的结果 \ 问题不能直接用NTT/FFT求解,因为均超过了值域范围(double值域承受不了) \ Solution1: 3模数NTT 取几个互质
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