Tricks.

\(\text{Tricks}\)，也许叫【一些神奇的小知识】更贴切？

有时候可以成为解题的关键。

虽然有点晚了但还是写一点比较好🤔

\(\mathscr{UPD} 2023.2.20\)：我都写了点啥，啥等差数列，我看不懂我写的（）（）

讲真，大概是写给未来的自己了。

也许会参加 ACM 吧？🤔

\(\text{1.}\ 判定等差数列\)

觉得判定等差数列大概很容易考于是写写。

暴力的思想是把数全部扔到 multiset 里然后循环判断，或者说数组记录 sort 一遍后判断。这样做单次是 \(O(n \log n)\) 的。

但是太慢了。

考虑优化暴力，可以类似莫队一样在数列上移动，用 multiset 实时维护（但好像快不了多少。。）。但是还是不够快。

看 \(\text{APJifengc}\) 大佬的博客 （密码是多校IP地址以及端口号）

性质：给定一个数列 \(A\)，若排序后是一个等差数列，那么其公差即为 \(\gcd(|A_1 - A_2|, |A_2 - A_3|, ..., A_{n-1} - A_n)\)

\(\text{APJ}\) 大佬说用扫描线一类的，但是我不会（

考虑一些简单的方法。注意到公差我们已经可以由上面的性质推出来了，此时我们要做的其实就是判断首项和末项是否合法。设公差为 \(d\)，则需判断 \(a_n = a_1 + (r-l) \times d\)。

此时还需要注意一个问题，判断序列中是否存在相同元素。这个可以转化为 \(\text{HH}\) 的项链，查区间不同元素个数是否等于区间长度。

但是值域太大好像就不行了？

目前此问题还没有解决，\(\text{APJ}\) 说离线的话可以扫描线。

\(\mathscr{UPD}\)：离线做法 \(\text{Solved.}\) 直接先离散化（包括要更改的数），对于每个值开 set 记录位置，更改的时候直接二分查找位置更新前驱后继，然后把当前点原来的值的后继的前驱改成当前点原来的值的前驱即可。

细节好像比较多，注意判断 set.end()。

\(\mathscr{UPD}\)：在线好像也可以这么做，map 判断当前更新的值是不是已经有的值就行了

关于为何要判是否存在相同元素：1 3 5 9 3

关于为何是判相同元素而不是判一个区间加：4 2 4 10 12 10

\(\text{Hint}\)：参考了这位大佬的博客以及 \(\text{APJifengc}\) 大佬的博客

\(\text{2.}\ 判定排列\)

对于给定的一个序列 a，若询问区间 \([l, r]\) 内的数构成的集合是否构成了从 \(1\) 开始的一个排列，线段树求一个最小和最大值，然后套求和公式再线段树求一个区间 sum 判断。

显然是假的。考虑 1 2 3 4 和 1 1 4 4。

但是注意到 \(1 \times 2 \times 3 \times 4 \neq 1 \times 1 \times 4 \times 4\)，于是可以再套一个查询区间乘积来判断。可以卡掉但是并不好卡，因为区间乘积需要取模，模数是自己定的，实在不行可以套一个双模（

预处理阶乘即可用区间乘判断。

但是如果要卡的话构造比较小的数据（小于模数）应该就能卡？

还有一种 \(\text{sandom}\) 教的判定方式，就是对于每个数用 map 映射一个随机值，处理一下1~i的排列 map 映射后的 sum，预处理 \(sum_i\) 为 \(1 \sim i\) 映射后的和，怕溢出可以取模，然后到时候直接查区间 sum 看是不是就行了。有点像这道题。

以及 \(\text{joke}\) 的判定方式，每个数的二次方与三次方。