浅谈差分约束

差分约束也是个咕了很久的简单玩意。

俺咕诶

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总述

主要思想是转化为图论问题。对于一大堆 $x - y \leq w$ 求可行解，移个项发现变成了 $x \leq y + w$ 注意到这玩意很像某松弛操作，于是考虑转化为最短路问题。

回忆最短路进行松弛操作的条件，$dis_u > dis_v + w$，那么把咱们的柿子移个项对应一下 $y \geq x - w$，于是 $y$ 作为 $v$ 向 $u$（也就是 $x$）连边，跑最短路即可

等于号无所谓，不影响。

总结：

• 对于形如 $x - y \leq w$ 的不等式，$y$ 向 $x$ 连边，跑最短路。

• 无解的条件是图中存在负环。

跑 $\text{spfa}$ 即可/oh。

咋判环捏？

记录入队次数，如果 $>n$ 就说明存在负环

为啥是 $> n$？

因为 $\text{SPFA}$ 正常情况下每个点顶多入队 $n$ 次。至于为啥是 $n$ 次：你想想为什么 $\text{spfa}$ 可以被卡到 $O(nm)$。每个点全部入队 $\text{n}$ 次呗。

不等式不长这样咋办？

移项就行了。特殊说一下 $x + y = w$ 这种：可以拆成 $x + y \geq w$ 和 $x + y \leq w$ 两个不等式，于是就解决了。

题

还没做题，做了把代码扔过来，最近任务比较多。