浅谈卡特兰数

好吧我第一次看到这玩意我觉得他很nb。。。

然而他确实很nb(

我根本不会用(

只会低级组合数((

意义

这玩意说不清楚，简单来说，就是一种带限制的组合数。比如说经典的解释：

从坐标 $(0, 0)$ 走到坐标 $(n, n)$，每次只能往上或往右走 $($即可以让 $x+1$ 或 $y+1$$)$，在任何时刻往上走的次数不能超过往右走的次数，问合法路径的条数？

好！很有神经！坐标 $dp$，一！眼！丁！真！

$n \leq 1e18$

？

让我们一起赞美凉心出题人

于是这便是卡特兰数了。类似的这种限制也可以用卡特兰数做。比如：例题

公式

$$C(n) = C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n-1}$$

证明：

先薅一张GavinZheng大佬的图

总共的路径条数为 $C_{2n}^{n}$，因为从 $(1, 1)$ 到 $(n, n)$ 要移动的总次数为 $2n$，在其中选出 $n$ 个来向右移动，这便是 $C_{2n}^{n}$ 了

然后随便画一条不合法的路径，把他第一次超过直线 $y = x+1$ 的点记录下来成为 $A$ 点，然后把 $A$ 点以上的都按照 $y = x+1$ 这条直线对称翻折一下，会发现终点由 $(n, n)$ 变成了 $(n-1, n+1)$。

补充一下为啥按照直线 $y = x+1$ 翻折：因为如果你碰到了这条直线说明你向上移动的次数大于了向右移动的次数，不合法了。(废话你解释这个干嘛)

可以证明每一个不合法的路径对称过来都会到达点 $(n-1, n+1)$。那么在总共的路径中不合法的路径条数便是 $C_{2n}^{n-1}$ 了。$((n+1+n-1 = 2n)$ 次移动中选 $n-1$ 次往右移动$)$。

好了，证毕。

题

好了现在既然你会卡特兰数了你可以去切黑题了

开玩笑，这玩意不止卡特兰数，就是用了一个卡特兰的思想。

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同场比赛的 $\text{E}$ 题

既然说到这里了，我不如把 $↑$ 这场比赛的 $E$ 题推荐一下，也是一道黑题。先看我的代码

神奇吗？暴力 $\text{A}$ 了！

那么你还在等什么，快去卡卡常切黑题吧！(

呃呃正解是分块，我显然没写(

但是这篇博讲的好像是卡特兰数(

好的，那就结束灞。